2.dereceden denklemler

1)2x²-mx+2m+3=0 denkleminin kökleri x₁ve x₂
x₁²+x₂² / x₁.x₂=3/2 ise m in alabilecegi değerler toplamı nedir ? (cevap:14)

2)x²-18x+1=0 denkleminin köklerix₁ ve x₂dir . buna göre ∛x₁+∛x₂ toplamı kactır?(Cevap :3)

3) a bir reel sayı olmak üzere x²-2ax+6=0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂dir.kökler arasında 3x₁=x₂bağıntısı olduguna göre a nın degerler çarpımı ?(cevap= -8)

4)n pozitif reel sayı olmak üzere x²-x-n=0 denkleminin kökleri a ve b dir.
3a²-2ab-b²=0 olduguna göre n kaçtır ?(cevap:3/4)

C-1

x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2xy

((x₁+x₂)²-2x₁x₂)/x₁x₂ = [(x₁+x₂)²/x₁x₂]-2 = 3/2

(x₁+x₂)²/x₁x₂=7/2

x₁+x₂=m/2
x₁x₂=(2m+3)/2

(x₁+x₂)²=m²/4

(x₁+x₂)²/x₁x₂=(m²/4).2/(2m+3)=7/2
m²/(4m+6)=7/2
m²/(2m+3)=7
m²=14m+21
m²-14m-21

m değerleri toplamı bulduğumuz denklemde kökler toplamı yani -(-14)/1=14 olacaktır.

C-3

Kökler çarpımı, x₁.x₂=3x₁²=6
x₁²=2
x₁=±√2

Kökler toplamı x₁+x₂=4x₁=2a
2x₁=a

x₁=√2 için a=2√2
x₁=-√2 için a=-2√2

a değerleri çarpımı,

(2√2).(-2√2)=-8 olacaktır.

C-4

3a²-2ab-b²=0 ise,
(a-b)(3a+b)=0

b=a
b=-3a

Birinci denklemde kökler çarpımı negatif, eğer b=a olsaydı kökler çarpımı pozitif olurdu. Öyleyse b=-3a olmalıdır.

İlk denklemde kökler toplamı 1,
a+b=a-3a=-2a=1
a=-1/2 olacaktır.

Kökler çarpımı -n=a.-3a
n=3a²
n=3.1/4=3/4 olacaktır.

2)x²-18x+1=0 denkleminin köklerix₁ ve x₂dir . buna göre ∛x₁+∛x₂ toplamı kactır?(Cevap :3)

∛x₁=a , ∛x₂=b olsun.

a+b=t diyelim.

a³+b³=kökler toplamı
a.b= kökler çarpımının küpkökü
olduğunu unutmadan,

a+b=t
(a+b)³=t³

a³+3a²b+3ab²+b³=t³
a³+b³+3.ab.(a+b)=t³

18+3.1.t=t³

t³=3t+18

bu denklem sadece 3 için sağlanır.