taban aritmetiği

1)On tabanındaki (2002)² sayısı 7 tabanında yazıldığında kaç basamaklı bir sayı elde edilir (cevap 8) kısa bir yol arıyorum
2) 10! sayısı iki tabanında yazıldığında kaç basamaklı bir sayı elde edilir ? (cevap 22)
3) 4 sayı tabanı olmak üzere
(2,23)4
sayısının on tabanındaki değeri kaçtır (cevap 11/4)

2)sorular zor geldi bana açıkçası
Bunu daha önce çözmüştüm ancak daha kısası varmı bilmem hocalarımız baksalar daha iyi olur

10!=7.5².3⁴.2⁸

5=2²+1
9=2³+1
7=2²+2+1

2⁸(2²+1)².(2³+1)².(2²+2+1)

=2²¹

buda 22 basamaklıdır

3)223₄-23₄/30₄
bu ipucundan gerisini yapabilirsin

3)2+2/4+3/16+3/64+.............=10/4+3/16(1+1/4+1/16...................) 1+1/4+1/16...................=1/3/4=4/3 dür 3/16 ile çarpalım 1/4
10/4+1/4=11/4

1.
1 yıl önce tartışılmıştı burada, Duygu da kısa bir yol göstermişti:
https://www.matematiktutkusu.com/for...483-karma.html (Karma)


O kısa yola göre çözümleyebiliriz:

2002'nin karesinin 2401'in karesine yakın olmasına kadarı anlaşılıyor.

başka bir örnek üzerinden

3<25<3³ şimdi karelerini alalım:
3²<625<(3^6)
9<625<729

25 27'ye yakındı
625 de 729 a yakın oldu
25'in aralığını 3'e göre yazdık, 3 tabanında inceliyoruz şimdi gerçekten inceleyelim:


(625) 3 tabanında 6 basamaklı, bu 6 sayısı da en yakın olduğu sayı olan 7^6 'nın üssü oluyor dikkat ettiysek.

emin olmak adına:
4<15<4²
16<225<4⁴

bakalım 225'in 4 tabanındaki değerinin basamak sayısı, gerçekten en yakın oldugu sayı olan 4⁴'ün üssüne eşit mi?
225 4 tabanında (3201) oluyor, 4 basamaklı
ya da:

5<24<5²
25<576<5⁴

576=(4301) oluyor 5 tabaında, yine 5⁴'ün üssü olan 4 kadar basamaklı bir sayı oldu.

Bizim soruda da 2002'nin en yakını 2401 idi 7 tabanında, 7^4'ün karesi olunca 2002'nin karesinin basamak sayısı 7^8'in 8 iyle aynı olmuş oldu.
Burada dikkat etmemiz gereken nokta : "aradaki sayı ve onun en yakın olduğu sayı ile ilgilendiğimiz"