1) 2+(2+4)+(2+4+6)+(2+4+6+8).......(2+4+...20) toplamı?
a)400 b) 410 c)420 d)430 e)440
4) Nüfusu 10 milyon olan bir ülkenin nüfusu her yıl bir önceki yılın %10 u kadar artmaktadır. 5 yıl sonra bu ülkenin nüfusu kaç olur?
a)16105100 b)15405100 c)15 400 100 d)14840200 e)14400200
Özellikle ilk soruyu çok merak ettim sevgili arkadaşlar ve kıymetli hocalarım yardımlarınızı bekliyorum.
Teşekkürler...
a)400 b) 410 c)420 d)430 e)440
4) Nüfusu 10 milyon olan bir ülkenin nüfusu her yıl bir önceki yılın %10 u kadar artmaktadır. 5 yıl sonra bu ülkenin nüfusu kaç olur?
a)16105100 b)15405100 c)15 400 100 d)14840200 e)14400200
Özellikle ilk soruyu çok merak ettim sevgili arkadaşlar ve kıymetli hocalarım yardımlarınızı bekliyorum.
Teşekkürler...
Madem, ilk soruyu merak etttin, anlatıyım.
Orada 10 tane grup var. Nasıl bulduk nersen, sayabiliriz ya da terim sayısı formülünden; (20-2)/2+1=10 olur.
O halde;
10 tane 2 var. 10x2=20
9 tane 4 var. 9x4=36
8 tane 6 var. 8x6=48
7 tane 8 var. 7x8=56
6 tane 10 var. 6x10=60
5 tane 12 var. 5x12=60
4 tane 14 var. 4x14=56
3 tane 16 var. ....
2 tane 18 var. .....
1 tane 20 var. .....
Dikkat ederseniz; üstteki kalın gözüken sayılar altta tekrar etmiş. O halde sayıların toplamı;
2x(20+36+48+56+60)=440 olur.
Peki, sayıların tekrar etmesinin nedeni neydi?
Dikkat ederseniz, çarptığımız sayılardan biri hep 1 arttı; biri de 1 azaldı. Bu yüzden belli bir yere kadar sonuçlar arttı; ancak sonra 10*6=60 ve 12*5=60 oldu ve sonuç değişmedi. Bundan sonra da sonuç sürekli azaldı.
2. durum; acaba sayılar küçük verilmeseydi, ne yapacaktık? O zaman 11. sınıfta verilen o toplam sembolü formüllerini kullanırdık. Ben burada, formül kullanmayım diye böyle çözdüm.
Orada 10 tane grup var. Nasıl bulduk nersen, sayabiliriz ya da terim sayısı formülünden; (20-2)/2+1=10 olur.
O halde;
10 tane 2 var. 10x2=20
9 tane 4 var. 9x4=36
8 tane 6 var. 8x6=48
7 tane 8 var. 7x8=56
6 tane 10 var. 6x10=60
5 tane 12 var. 5x12=60
4 tane 14 var. 4x14=56
3 tane 16 var. ....
2 tane 18 var. .....
1 tane 20 var. .....
Dikkat ederseniz; üstteki kalın gözüken sayılar altta tekrar etmiş. O halde sayıların toplamı;
2x(20+36+48+56+60)=440 olur.
Peki, sayıların tekrar etmesinin nedeni neydi?
Dikkat ederseniz, çarptığımız sayılardan biri hep 1 arttı; biri de 1 azaldı. Bu yüzden belli bir yere kadar sonuçlar arttı; ancak sonra 10*6=60 ve 12*5=60 oldu ve sonuç değişmedi. Bundan sonra da sonuç sürekli azaldı.
2. durum; acaba sayılar küçük verilmeseydi, ne yapacaktık? O zaman 11. sınıfta verilen o toplam sembolü formüllerini kullanırdık. Ben burada, formül kullanmayım diye böyle çözdüm.
gereksizyorumcu 20:20 14 May 2012 #3
1.
farklı yollardan da yapılabilir ama biz 2 leri , 4 leri falan sayalım
10 tane 2 , 9 tane 4 , ... , 1 tane 20 var
toplam (11-k).(2k) , k=1 den 10 a
22k-2k² ye bakarsak 1 den 10 a toplamları 22.10.11/2-(2.10.11.21/6)=1210-770=440 olur
6.
ortak çarpan tamsayı ise önceki terim sonraki terimi bölecektir yani obeb 81 ise aslında 4. terim 81 dir.
buradan ortak çarpan 3 bulunur.
ilk 5 terim toplamı da (3^6-3)/2=363 olur
14.
ikinci toplamın ilk toplama oranı ortak çarpanı verecektir , 1/2
4.
5 kere %10 artış olacaktır. seçeneklerden gidelim, ilk 4 yılda %40 dan fazla artacağı kesindir, son yıl da en az 14 puan artmış olur sadece a seçeneği asla yatkın duruyor.
not: limit öğrendiniz sanırım, x sonsuza giderken (1+1/x)^x in e olmasından faydalanarak benzeri soruları çözebilirsiniz, mesela burada son değer e^(1/2) ye oldukça yakın olmalı
2.
seçeneklere bakarsak terimlerin 1 den büyük olduğundan hareketle bunu sağlayan sadece b ve c olduğunu görüyoruz. c olmadığını da en basitinden sayı vererek bile anlayabiliriz.
farklı yollardan da yapılabilir ama biz 2 leri , 4 leri falan sayalım
10 tane 2 , 9 tane 4 , ... , 1 tane 20 var
toplam (11-k).(2k) , k=1 den 10 a
22k-2k² ye bakarsak 1 den 10 a toplamları 22.10.11/2-(2.10.11.21/6)=1210-770=440 olur
6.
ortak çarpan tamsayı ise önceki terim sonraki terimi bölecektir yani obeb 81 ise aslında 4. terim 81 dir.
buradan ortak çarpan 3 bulunur.
ilk 5 terim toplamı da (3^6-3)/2=363 olur
14.
ikinci toplamın ilk toplama oranı ortak çarpanı verecektir , 1/2
4.
5 kere %10 artış olacaktır. seçeneklerden gidelim, ilk 4 yılda %40 dan fazla artacağı kesindir, son yıl da en az 14 puan artmış olur sadece a seçeneği asla yatkın duruyor.
not: limit öğrendiniz sanırım, x sonsuza giderken (1+1/x)^x in e olmasından faydalanarak benzeri soruları çözebilirsiniz, mesela burada son değer e^(1/2) ye oldukça yakın olmalı
2.
seçeneklere bakarsak terimlerin 1 den büyük olduğundan hareketle bunu sağlayan sadece b ve c olduğunu görüyoruz. c olmadığını da en basitinden sayı vererek bile anlayabiliriz.
Çok teşekkür ederim sayın yorumcu ve mat arkadaşım. yanlız 4. soruyu biraz daha açıklayabilir misiniz acaba?İlk 4 yılda %40 dan fazla artacak burdan 10 un yüzde 40 ından 4 puan gelir en az yani sayı kesinlikle 14milyondan büyük olacak.Aslında ilk 5 yıl %50 den fazla artacak dersek sayı 15milyondan büyük olacak bu durumda a,b ve c şıkları kalıyor ama en son yıl nasıl 14 puan arttı ve a seçeneği nasıl oldu? b ve c yi nasıl eledik pek anlayamadım?
gereksizyorumcu 22:44 14 May 2012 #5
sadece son iki yıl için detaya inmek seçeneklere göre cevabı bulabildiği için öyle yapmıştım
mesela son üç yıl için incelersek
3. yıl 13 milyondan çok olacağından 5 yılın sonunda
13+1.3+1.43=15.73 ten çok olacağını da söyleyebiliriz.
sadece 5. kuvvetin alınması gerektiğinden farklı işlemlere de başvurabiliriz,
iki yılda 1.2 katından fazlaya ulaşır öyleyse 4 yılda 1.2*1.2=1.44 ve son yıl da 1.44+0.144=1.584 katından fazlaya ulaşır vs vs
ben olsam yılda %1 artırır 50 yıl sonra hangisine en yakın olurdu diye sorardım.
mesela son üç yıl için incelersek
3. yıl 13 milyondan çok olacağından 5 yılın sonunda
13+1.3+1.43=15.73 ten çok olacağını da söyleyebiliriz.
sadece 5. kuvvetin alınması gerektiğinden farklı işlemlere de başvurabiliriz,
iki yılda 1.2 katından fazlaya ulaşır öyleyse 4 yılda 1.2*1.2=1.44 ve son yıl da 1.44+0.144=1.584 katından fazlaya ulaşır vs vs
ben olsam yılda %1 artırır 50 yıl sonra hangisine en yakın olurdu diye sorardım.
evet şimdi iyi anladım.Teşekkürler...
Diğer çözümlü sorular alttadır.