[yasin1993gs1]

10.3¹⁹⁵.49⁴⁹ sayısının dört tabanına göre yazımının son üç basamağı nedir?




yasin_1993_gs@hotmail.com

[MatematikciFM]

3. kere açtın. Biraz bekle düşünelim.

[yasin1993gs1]

Peki hocam kusura bakmayınız..

[MatematikciFM]

Son rakam 2 ama diğerlerini göremedim.

[havva şimşek]

bu soruyu çöezbildiniz mi..??

[gereksizyorumcu]

bir sayının 4 tabanına göre yazımının son 3 basamağı (ya da n tabanına göre yazımındaki son k basamağı) 4³ e bölümünden (n^k'ya bölümünden) kalanın 4 tabanındaki yazımına eşittir.

bu sayının 64 modundaki değerini bulamamız ve o değeri 4 modunda yazmamız yeterlidir.

Eulr Teoremine göre a ve n aralarında asalken
a^φ(n) ≡1(mod n)
olduğundan ve
φ(64)=φ(2⁶)=(2-1).2⁵=32 olduğundan
3³² ≡7³² ≡1 (mod 64)

şimdi bütn bunların ışığında bize sorulan sayıyı yazalım

10.3¹⁹⁵.49⁴⁹=10.(3³²)⁶.3³.(7³²)³.7²
≡10.3³.7² ≡10.27.49 ≡46 (mod64)

sayı 64 modunda 46 ya dekmiş 4 tabanında yazıldığında
sonu (46)₁₀=(abc)₄ deki abc olur
o da 46÷4=11(2)÷4=2(3)
olduğundan (232)₄ olur.

[MatematikciFM]

Soruyu soran 11. sınıf öğrencisi, soru 9. sınıf sorusu(?), ve çözüm de Euler Teoremi. Buyrun burdan yakın.

[gereksizyorumcu]

hocam Euler Teoremi belki biraz sıkıntı olabilir ama sorunun çözümünde esas olarak 64 e bölümünden kalanı bulmak önemli onun için de 3.7=63 olmasından da faydalanılabilinir
10.63⁹⁷.3.7 gibi düşünüp 63⁹⁷ ≡-1 (mod64)
olmasından faydalanıp
ve bize verilen sayı ≡ -210 ≡ 46 (mod64)

diye de bulabilirdik ama ben genel bir çözüm vermeye çalıştım. her halükarda dediğiniz gibi soru bu sınıfın sorusu değil.

[MatematikciFM]

Benim lafım size değil zaten. Eğitimde sınırlar ne kadar zorlanabilir, bir örnek bu,

[gereksizyorumcu]

şimdi soran arkadaşın görüşünü de almadan bişey demeyelim çünkü soru UMO birinci aşama test sorusu olabilir. orası için gayet uygun bir soru.