Polinom

1.soru
P(x) polinomunun (x-1) ile bölümünden kalan -2, (x+1) ile bölümünden kalan 1 dir.
Buna göre P²(x) polinomunun x²-1 ile bölümünden kalan nedir?

2.soru
Bir P(x) polinomunun (x+1) ile bölümünden kalan 5, (x²-x+1) ile bölümünden kalan 2x+1 dir. Buna göre,P(x) in x³+1 ile bölümünden kalan nedir?

1)P(x)=q(x)(x-1)(x+1)+k(x) polinomun x²-1 ile bölümünden kalan 1. dereceden polinomdur.

k(x)=ax+b olur.

p(1)=a+b=-2
p(-1)=-a+b=1
ise
a=-3/2
b=-1/2 =>k(x)=-(3x+1)/2

p²(x) ≡k²(x) dir.(x²-1 ile bölümünden kalanlar için yukarıda iki tarafın da karesi alınırsa görülür)

k²(x) =(9x²+6x+1)/4
x²=1 yazalım

kalan=(9+6x+1)/4=(3x+5)/2 olur.


2)p(x)=q(x)(x+1)(x²-x+1)+k(x)

k(x)=ax²+bx+c

p(-1)=a-b+c=5

x²=x-1 yaparsak yukarıda yerine yazarsak
a(x-1)+bx+c=2x+1
(a+b)x+c-a=2x+1
buradan
a+b=2
a-c=-1
a-b+c=5

bu üç denklemden
a=2,b=0,c=3

k(x)=2x²+3 olur

teşekkürler