gereksizyorumcu 20:32 28 Mar 2011 #21
şimdi orayı okudum da sanki matematikçifm hocamızla benim dediğimi destekliyor
tanım:
x in küpkökü y3=x eşitliğini sağlayan y sayılarıdır
reel sayılar
x ve y reelse tek bir çözüm bulunur ve bir reel sayının küpkökü bazen yukarıdaki eşitlikle tanımlanır. eğer yukarıdaki tanım kullanılırsa negatif bir sayının küpkökü de negatiftir. x sayısının esas küp kökü de
∛x=x1/3 şeklinde gösterilir.
eğer x ve y complex olabiliyorsa , 3 tane çözüm vardır (tabi x sıfır değilse) ve x in 3 tane küp kökü vardır. Bir reel sayının bir reel küpkökünün yanısıra birbirinin eşleniği olan 2 tane daha complex küpkökü vardır. Bu bazı ilginç sonuçlara yol açar;
Bu nedenle 1 sayısının küpkökleri
∛1=1
∛1=(-1/2)+(1/2).i√3
∛1=(-1/2)-(1/2).i√3
bu son iki kök tüm küpköklerin arasında bir ilişki kurar. reel ya da complex bir sayının bir küpkökü elimizdeyken diğer 2 küpkökünü de bu sayıyı 1 in son iki küpköküyle çarparak bulabiliriz....
şeklinde gidiyor yazı. ben buradan her reel sayı için küpkökün tanımlı olduğunu anlıyorum
aşağıda ise complex tanım verilmiş bir sayının yarıçapının küpkökü alınır ve açısı da 3 e bölünür diyor. bu tanımı kullanacaksak negatif bir sayının küpkökü complex bir sayı olur hatta ∛-8 i direkt örnek vermiş ve bunun değeri -2 değil 1+i√3 tür demiş.
ama bence bu bizim düşündüğümüz gibi olmasını gerektirir çünkü tanım complexler üstünde yapılırsa ancak bu uygulanabilir sorunun reel sayılarda sorulduğunu düşünebiliriz sanırım bu durumda ilk tanıma göre ∛-8=-2 olmalıdır diye düşünüyorum yani en azından ben wikiden bunu anladım
tanım:
x in küpkökü y3=x eşitliğini sağlayan y sayılarıdır
reel sayılar
x ve y reelse tek bir çözüm bulunur ve bir reel sayının küpkökü bazen yukarıdaki eşitlikle tanımlanır. eğer yukarıdaki tanım kullanılırsa negatif bir sayının küpkökü de negatiftir. x sayısının esas küp kökü de
∛x=x1/3 şeklinde gösterilir.
eğer x ve y complex olabiliyorsa , 3 tane çözüm vardır (tabi x sıfır değilse) ve x in 3 tane küp kökü vardır. Bir reel sayının bir reel küpkökünün yanısıra birbirinin eşleniği olan 2 tane daha complex küpkökü vardır. Bu bazı ilginç sonuçlara yol açar;
Bu nedenle 1 sayısının küpkökleri
∛1=1
∛1=(-1/2)+(1/2).i√3
∛1=(-1/2)-(1/2).i√3
bu son iki kök tüm küpköklerin arasında bir ilişki kurar. reel ya da complex bir sayının bir küpkökü elimizdeyken diğer 2 küpkökünü de bu sayıyı 1 in son iki küpköküyle çarparak bulabiliriz....
şeklinde gidiyor yazı. ben buradan her reel sayı için küpkökün tanımlı olduğunu anlıyorum
aşağıda ise complex tanım verilmiş bir sayının yarıçapının küpkökü alınır ve açısı da 3 e bölünür diyor. bu tanımı kullanacaksak negatif bir sayının küpkökü complex bir sayı olur hatta ∛-8 i direkt örnek vermiş ve bunun değeri -2 değil 1+i√3 tür demiş.
ama bence bu bizim düşündüğümüz gibi olmasını gerektirir çünkü tanım complexler üstünde yapılırsa ancak bu uygulanabilir sorunun reel sayılarda sorulduğunu düşünebiliriz sanırım bu durumda ilk tanıma göre ∛-8=-2 olmalıdır diye düşünüyorum yani en azından ben wikiden bunu anladım
Hocam, matematikte bir şeyin (birbirini yalanlayan) iki farklı tanımı olabilir mi? Sonuca ulaşılamamasının tek nedeni algoritma sorunudur.
Esas soru
x^3-8=(x+2)(x^2-2x+4)=0
denklemi x=-2 için sağlanıyor mu sağlanmıyor mu, sorusudur. Aksini iddia etmek sağlanmadığını söylemektir.
Esas soru
x^3-8=(x+2)(x^2-2x+4)=0
denklemi x=-2 için sağlanıyor mu sağlanmıyor mu, sorusudur. Aksini iddia etmek sağlanmadığını söylemektir.
∛-8 i bulmak , x³=-8 denklemini çözmektir (x=-2)
f(x)=∛x fonksiyonun grafiği reel sayılarda alttakidir.
Bu grafikte f(-8)=∛-8=-2 tek değer vardır.
Ancak kompleks sayılarda x=-8 için fonksiyon 3 farklı değere gitmektedir.
f(-8)=-2 ve
f(-8)=1-i.√3 ve
f(-8)=1+i.√3
İşte o yüzden wikipedia küp kök sayfasında ki grafik için sadece x≥0 için çizim vermiş. x<0 için fonksiyon olma şartını sağlamıyor küp kök fonksiyonu.
Wolfram bu yüzden f(x)=∛x grafiği için negatif değer kümesini göstermemiş.
Bu yüzden wolfram x<0 , y=∛x grafiği için boş çizim veriyor.
f(x)=∜x veya f(x)=√x fonksiyonları ∜(-16) veya √(-4) örnekleri için tek değere gitmektedir. Onun için karekök fonksiyonu veya 4. dereceden kök fonksiyonu negatifler için bile olsa fonksiyon olma şartını sağlıyor.
Benim kafamı kurcalayan noktalar bunlar.
Hocam, bana olan güvensizliğinizden ziyade mathematica'ya olan aşırı güveninizden ötürü size pek inandırıcı gelmese de 
mathematica'nın oldukça fazla algoritma hatası vardır ve özellikle yabancı üniversite sitelerinde bu oldukça fazla dile getirilir. Buradaki mesele de mathematica'nın negatif sayıların küpköklerini hesaplamayı bilmemesinden (inanılmaz ama gerçek) kaynaklanmaktadır.
Konuyla ilgili linke bakın isterseniz:
Mathematica Command Glossary
Orada tarif edilen cuberoot fonksiyonunu tanımlarsanız istediğiniz sonuçları alırsınız. Nedenleri de ilgili makalede açıklanmıştır.
Gelelim sıradan hesap makinelerinin (windows calculator gibi) -8'in küpkökünü bulamamasına. Bu tür hesap makineleri verdiğiniz wikipedia linkinde de belirtildiği gibi, x^(1/3) değerini x^(1/2) değerinden yola çıkarak hesaplarlar. Negatif sayıların karekökü tanımsız olduğu içindir ki bu yöntem yürümez ve verilen değeri geçersiz zannederler. Fakat GraphCalc ve benzeri hesap makineleri sonucu çok rahatlıkla bulabilirler.
Ayrıca, örneğin f(x)=x^(1/2) bağıntısının bir fonksiyon olmaması, x^(1/2)-a=0 denkleminin çözümsüz olduğu anlamına gelmez ki x^(1/3) ifadesinin fonksiyon olup olmadığını tartışmaya gerek olsun diye düşünüyorum.
Not: Aramızda var olduğunu farzettiğim samimiyete dayanarak biraz nükteli konuştum, kabalık olarak algılamazsınız diye umuyorum.
mathematica'nın oldukça fazla algoritma hatası vardır ve özellikle yabancı üniversite sitelerinde bu oldukça fazla dile getirilir. Buradaki mesele de mathematica'nın negatif sayıların küpköklerini hesaplamayı bilmemesinden (inanılmaz ama gerçek) kaynaklanmaktadır. Konuyla ilgili linke bakın isterseniz:
Mathematica Command Glossary
Orada tarif edilen cuberoot fonksiyonunu tanımlarsanız istediğiniz sonuçları alırsınız. Nedenleri de ilgili makalede açıklanmıştır.
Gelelim sıradan hesap makinelerinin (windows calculator gibi) -8'in küpkökünü bulamamasına. Bu tür hesap makineleri verdiğiniz wikipedia linkinde de belirtildiği gibi, x^(1/3) değerini x^(1/2) değerinden yola çıkarak hesaplarlar. Negatif sayıların karekökü tanımsız olduğu içindir ki bu yöntem yürümez ve verilen değeri geçersiz zannederler. Fakat GraphCalc ve benzeri hesap makineleri sonucu çok rahatlıkla bulabilirler.
Ayrıca, örneğin f(x)=x^(1/2) bağıntısının bir fonksiyon olmaması, x^(1/2)-a=0 denkleminin çözümsüz olduğu anlamına gelmez ki x^(1/3) ifadesinin fonksiyon olup olmadığını tartışmaya gerek olsun diye düşünüyorum.
Not: Aramızda var olduğunu farzettiğim samimiyete dayanarak biraz nükteli konuştum, kabalık olarak algılamazsınız diye umuyorum.
Wolframın Alphanın hataları olduğunu ben biliyorum. Forumuna üyeyimdir. Bİlgi eksikliğimiden dolayı bu kompleks-reel işi biraz kafamı karıştırıyor.
Cuberoot dediğiniz sayfada programlama dili ile anlatıldığı için pek birşey anlayamadım
Sakın öğretmek gibi algılamayın (o haddime düşmez) hocam sadece bildiğim kadarını ifade ediyorum. x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)=0 denkleminin cebrin temel teoremine göre üç kökü olması gerekir ve bunlardan biri (x-2)=0 için reel, diğer ikisi de (x^2-2x+4)=0 için, Delta<0 olduğundan dolayı, sanaldır. Ama denklemin reel kökü vardır. Fakat Mathematica bunu bulamadığı için o sitedekiler (ki tek site de o değil) bu işi yapacak bir fonksiyon tanımlanması gerektiğini söylüyorlar. Yani kısaca gereksizyorumcunun çözümü doğru idi.
MatematikciFM 04:57 30 Mar 2011 #26
x²=4 denklemini çözmek ile, x³=-8 denklemini çözmek arasında, tanım itibariyle hiç bir fark yoktur.
x²=4 denkleminin köklerini x=2 olarak değil, x=2 veya x=-2 olarak buluyoruz.
x³=-8 denkleminin tek farkı reel sayılar kümesi içinde tek kökünün yani -2 nin olması.
x³=-8 denkleminin kökü yoktur demek, x²=4 denkleminin kökü sadece x=2 dir demekle aynıdır.
Tersine
matematikte √4=2 olarak alınması yani -2 nin alınmaması, karmaşaya yol açmaması içindir.
√4 ün, kökü olarak sadece 2 nin alınması, -2 nin kök olmaığı anlamına gelmez.
Köklerden pozitif olanını almak bildiğim kadarıyla sadece çift dereceli kökler için geçerli, tek dereceli kökler için böyle bir tanım olduğunu zannetmiyorum. Gerek de yok zaten.
Çünkü tek dereceli köklerde reel sayılarda tanımlı bir tane kök var. Bunun da yok sayılması daha büyük bir karmaşaya yol açar.
Çift dereceli köklerde, tek kök kabul edilmesi mantığının, tek dereceli köklere uygulanması, çözümlü bir denklemin, çözümsüz olarak kabul edilmesidir.
Böyle düşünmek,
x²=-4 denklemi ile, x³=-8 denklemini aynı görmek demektir ki bu da son derece yanlıştır.
x²=4 denkleminin köklerini x=2 olarak değil, x=2 veya x=-2 olarak buluyoruz.
x³=-8 denkleminin tek farkı reel sayılar kümesi içinde tek kökünün yani -2 nin olması.
x³=-8 denkleminin kökü yoktur demek, x²=4 denkleminin kökü sadece x=2 dir demekle aynıdır.
Tersine
matematikte √4=2 olarak alınması yani -2 nin alınmaması, karmaşaya yol açmaması içindir.
√4 ün, kökü olarak sadece 2 nin alınması, -2 nin kök olmaığı anlamına gelmez.
Köklerden pozitif olanını almak bildiğim kadarıyla sadece çift dereceli kökler için geçerli, tek dereceli kökler için böyle bir tanım olduğunu zannetmiyorum. Gerek de yok zaten.
Çünkü tek dereceli köklerde reel sayılarda tanımlı bir tane kök var. Bunun da yok sayılması daha büyük bir karmaşaya yol açar.
Çift dereceli köklerde, tek kök kabul edilmesi mantığının, tek dereceli köklere uygulanması, çözümlü bir denklemin, çözümsüz olarak kabul edilmesidir.
Böyle düşünmek,
x²=-4 denklemi ile, x³=-8 denklemini aynı görmek demektir ki bu da son derece yanlıştır.