Polinomlarda Bölme - Çarpanlara Ayırma Yardım

SORU1 p(x) = 2x³ + mx² + nx - 3 polinomunun çarpanlarından ikisi (x-1) ve (x+1)dir. Diğer çarpanı bulunuz.

SORU2 p(x) = x⁴ - 4x³ + 6x² - 4x - 3 polinomu veriliyor. p(√2+1) değerini bulunuz.

SORU3 p(x) polinomunun x-2 ile bölümünden kalan 4, x+5 ile bölümünden kalan -3dür.Buna göre p(x) polinomunun x²+3x-10 ile bölümünden kalan kaçtır?

SORU4 (x-2) . P(x) = x³ - 2x² + ax - 6 ise P(x) polinomunun (x-1) ile bölümünden kalan kaçtır?

SORU5 P(x) polinomu için P(x) + P(x-1) = 2x² + 4 eşitliği veriliyor. P(x) polinomunun sabit terimi 2 ise P(x) in (x-2) ile bölümünden kalan kaçtır?

Soruların şıkları olmadığı için ekleyemiyorum. Sınav öncesi çalışma kağıdı klasik soruları.

5.soru
x=1 için
P(1)+P(0)=6
x=2 için
P(2)+P(1)=12 taraf tarafa çıkartın.
P(2)-P(0)=6 P(x) sabit terimi 2 olduğu için P(0)=2'dir.
P(2)=4 gelir.
p(x)'in x-2 ile bölümünden kalanı bulmak için x=2 verilir. yani bizden p(2) isteniliyor. o da 4

4.soru
x=2 için sol taraf 0 olur. bu durumda a değerini bulabilirsin.
x=2 için
0=8-8+2a-6
a=3 gelir.
P(x)'in x-1 ile bölünmesi denek x=1 demektir. P(1) yazın ve bulun.

edit: P(x) x-1 ile bölümünden bölüm q(x) ve kalan k olsun. bu şöyle de yazılabilir.
P(x)=(x-1).q(x)+k şeklinde
x=1 için sağ tarafta sadece kalan kalır. o buradan geliyor.

3.soru
p(x)=(x²+3x-10).Q(x)+ax+b şeklinde yazılsın. Q(x) bölüm ve ax+b kalan olsun. bir denklemi 2. dereceden bir denkleme bölersen kalan 1. veya 0. dereceden olmalı.
x=2 için
P(2)=2a+b gelir. (bölenin çarpanlarından biri 2 biri de -5'tir.)
P(-5)=-5a+b gelir.
p(x) x-2 ile bölümünden kalan 4 ise P(2)=4
P(X)'in x+5 ile bölümünden kalan -3 ise P(-5)=-3'tür. buradan yerine yaz ve a ile b'yi bul.

1. soru
P(x)=2x³+mx²+nx-3 , P(x) polinomunun 3 çarpanı varsa, P(x) polinomu her bir çarpanına bölündüğünde, kalan 0 olmalıdır. Bu nedenle, P(x) polinomunun x-1 ile bölünebilmesi için P(1)=0 ve x+1 ile bölünebilmesi için P(-1)=0 olmalıdır.

P(1)=2.1³+m.1²+n.1-3=0
2+m+n-3=0
m+n=1 (I)
P(-1)=2.(-1)³+m.(-1)²+n.(-1)-3=0
-2+m-n-3=0
m-n=5 (II)

(I) ve (II) eşitliklerinden m ve n değerlerini buluruz.

m+n=1
m-n=5

2.m=6 m=3
3+n=1'den n=-2 bulunur.

p(x) = 2x³ + mx² + nx - 3 polinomda m ve n değerlerini yerine yerleştirelim.
P(x)= 2x³+3x²-2x-3
Bize verilen çarpanlar x-1 ve x+1'di. Bunların çarpımı : (x-1).(x+1)=x²-1 'dir. P(x) polinomunu x²-1 'e bölersek, diğer çarpanı bulabiliriz.


2x³+3x²-2x-3 l x²-1
2x³-2x "aaaa" l 2x+3
....................
3x²-3
3x²-3
..................
0

İstenilen çarpan 2x+3'tür.

Not: Burada yer alan bölme işlemini yaparken, sol tarafta yer alan 2x³-2x ifadesinde ki 2x³'ün önünde ki + işaretinin üzerine -, -2x önünde ki - 'nin üzerine + yazılıp ondan sonra üzerinde ki ifade ile buna göre işlem yapılıyor. Aynı şekilde 3 ile x²-1 çarpımından elde edilen 3x²-3 içinde aynısı yapılıyor. 3x² 'nin önünde ki + işaretinin üzerine -, -3'ün önünde ki - işaretinin üzerine + yazılıp üzerinde ki ifade ile aritmetiksel işlem yapılıyor. Her iki işareti de aynı anda yazamadığım için buraya not düştüm.

2. soru
(x-1)⁴ = x⁴ - 4x³ + 6x² - 4x +1

P(x)=x⁴ - 4x³ + 6x² - 4x -3 verilmiş, (x-1)⁴ ifadesini p(x) polinomunun içerisine yerleştirelim.

P(x)=x⁴ - 4x³ + 6x² - 4x +1-3-1 (-1+1 ilave edelim)
P(x)=x⁴ - 4x³ + 6x² - 4x +1 -4
P(x)=(x-1)⁴-4
P(√2+1)=(√2+1-1)⁴-4
P(√2+1)=(√2)⁴-4
P(√2+1)=4-4
P(√2+1)=0
P(√2+1)=0 'dır.

1.soru
şöyle bir pratik yol ile yapılabilir.
ax³+bx²+cx+d denkleminin kökler çarpımı -d/a'dır. verilen polinomda kökler çarpımı -(-3)/2=3/2 gelir.
denklemin 3. kökü z olsun.
ilk kökü x-1=0 x=1
2. kökü x+1=0 x=-1
3. kökü x=z olsun yani bunları çarp.
-z=3/2
z=-3/2 gelir.
x=z=-3/2
2x=-3
2x+3=0 bu da polinomun 3. çarpanı.