[GeCCe_]

abc8 dört basamaklı bir sayı olmak üzere mn iki basamaklı sayısının alacağı değerler toplamı kaçtır? (cevap: 486)

[Cem1971]

1. çözüm:
35=5.7 ve (5,7)=1 olduğundan, 5 ve 7 ile bölümden kalan da aynıdır, ortak (bir tek) kalanı vardır. 5 ile bölümü inceleyelim, çünkü 7 ile bölümden kalan için diğer basamkları da bilmeliyiz. Buna göre, sayının birler basamağından dolayı 5 ile bölümünden kalan 3'dür. O hâlde 35'e kadar 5 modunda hareket edebiliriz:
5--> 3 , 8 , 13 , 18 , 23 , 28 , 33 (durduk; 35'den küçük olacak kalan ya!)
O zaman bunlaradn herhang, bir tanesi istenilen kalanlardan olabilir. Uygun a,b,c rakamları için muhtemel iki basamaklı kalanlar kümesi: {13,18,23,28,33} --> (mn)_toplam=13+18+23+28+33=115 bulunur.

2. çözüm:
Modüler kongrüans kullanalım:
1000a+100b+10c+8≡mn (mod 35)
20a+30b+10c+8≡mn (mod 35)
5(4a+6b+2c)+8≡mn (mod 35)
5k+8≡mn (mod 35) ; 4a+6b+2c=k

k=1 için mn=13 (35)
k=2 için mn=18 (35)
k=3 için mn=23 (35)
k=4 için mn=28 (35)
k=5 için mn=33 (35) (durduk!) yine bulunmuş olur.

UYARI:
"Siz sormadan ben cevap vereyim" tarzında bir husus var!
Burada k=1 olacak şekilde a,b, ve c bulunmaz, ama daha ileriki k'larda bu incelediğimiz k=1,2,3... için çıkan sonuçlar illâki çıkacaktır. Onun için k=1, k=2 v.b. olamasa bile (hemen) k=1,2,3,... için incelemekte hiçbir mahsur yoktur.

[GeCCe_]

UYARI:[/B]
"Siz sormadan ben cevap vereyim" tarzında bir husus var!
Burada k=1 olacak şekilde a,b, ve c bulunmaz, ama daha ileriki k'larda bu incelediğimiz k=1,2,3... için çıkan sonuçlar illâki çıkacaktır. Onun için k=1, k=2 v.b. olamasa bile (hemen) k=1,2,3,... için incelemekte hiçbir mahsur yoktur.

Hocam özür dilerim yanlış anlaşıldı isem. Ben dershane öğretmeniyim. Öğrencimin okuldaki öğretmeni göndermiş soruyu bana. Cevabı aynen sizin gibi ispat ederek buldum. Fakat adam cevabının 486 olduğunu iddia etmiş. Acaba bilmediğim bir yönü mü var diye en güvenilir kaynak olarak sizlere sordum. Aslında sorunun orjinalde bu bölüme yazılması bile abes bence. Çok teşekkür eder tekrar çok özür dilerim. Saygılarımla...

[Cem1971]

Hocam özür dilerim yanlış anlaşıldı isem. Ben dershane öğretmeniyim. Öğrencimin okuldaki öğretmeni göndermiş soruyu bana. Cevabı aynen sizin gibi ispat ederek buldum. Fakat adam cevabının 486 olduğunu iddia etmiş. Acaba bilmediğim bir yönü mü var diye en güvenilir kaynak olarak sizlere sordum. Aslında sorunun orjinalde bu bölüme yazılması bile abes bence. Çok teşekkür eder tekrar çok özür dilerim. Saygılarımla...

Estağfurullah... Ne özrü?..
Bilmukabele...