olduğunu gösterinizbinom açılımı yapıp ifadeyi açtım integralini alıp yerine sınır değerlerini koydum işlem hatam yoksa çok yaklaştım (tabi bu yol doğruysa) ancak bir türlü paydayı eşitleyip ifadeyi düzenleyemedim yardımcı olabilirseniz çok sevinirim
gereksizyorumcu 23:08 07 Oca 2011 #2
bu soruya da ancak şimdi bakabildim. bakıyorum büyük ihtimalle çözebilirim , çözünce yazarım.
gereksizyorumcu 23:48 07 Oca 2011 #3
Gamma ve Beta fonksiyonlarını biliyor musunuz?
Üniversite 1. sınıf öğrencisiyim derste şuanlık anlatılmadı onun için bilmiyorum ama tek çözüm yolu bahsettiğiniz gamma ve beta fonksiyonlarıyla ise siz çözün hocam ben araştırıp öğrenmeye çalışırım.
gereksizyorumcu 01:19 08 Oca 2011 #5
yok tek çözüm yolu tabiki bu değildir ama ben öyle bir çözüm buldum o yüzden demek istemiştim
yazayım siz karar verin
Beta fonksiyonu şu şekilde tanımlanıyor
ve Beta Fonksiyonuyla Gamma Fonksiyonu arasında şöyle bir ilişki var
B(x,y)=Γ(x)Γ(y)/Γ(x+y)
şimdi Betanın tanımında t=k², x=1/2 ve y=n+1 alalım
bu durumda oluşan integral sizin yazdığınızın 2katı olur (dk²=2kdk yazdık)
yani sorduğunuz değer
=B(1/2,n+1)/2=(1/2)Γ(1/2)Γ(n+1)/Γ(n+1+1/2) oluyor
tanım gereği Γ(n+1)=n! zaten
Γ(1/2)=√∏
Γ(n+1/2)=(√∏)(2n)!/(4n.n!)
bunları yerine koyarsak
sorulan integral=(1/2).(√∏).n!.(n+1)!.4n+1/((√∏).(2n+2)!) , kök pileri falan sadeleştirip 4n i 22n li olarak yazıp (n+1)! in n+1 i ile 1 tane 2 yi çarpıp alttaki 2n+2 ile sadeleştirip (2n+1)! bırakırsak
en son geriye 22n.n!.n!/(2n+1)! kalmış oluyo bu da zaten istenen şey
neyse bu kötü bi çözüm oldu çünkü bu sorunun beta gamma bulaştırılmadan çözümü olduğu belli sadece be işin içinde olmadığımdan bulamadım. uğraşıp bulursam doğru dürüst bir çözüm de yazmaya çalışacağım
beta ve gamma fonksiyonları linklerden bakabilirsin
yazayım siz karar verin
Beta fonksiyonu şu şekilde tanımlanıyor
ve Beta Fonksiyonuyla Gamma Fonksiyonu arasında şöyle bir ilişki var
B(x,y)=Γ(x)Γ(y)/Γ(x+y)
şimdi Betanın tanımında t=k², x=1/2 ve y=n+1 alalım
bu durumda oluşan integral sizin yazdığınızın 2katı olur (dk²=2kdk yazdık)
yani sorduğunuz değer
=B(1/2,n+1)/2=(1/2)Γ(1/2)Γ(n+1)/Γ(n+1+1/2) oluyor
tanım gereği Γ(n+1)=n! zaten
Γ(1/2)=√∏
Γ(n+1/2)=(√∏)(2n)!/(4n.n!)
bunları yerine koyarsak
sorulan integral=(1/2).(√∏).n!.(n+1)!.4n+1/((√∏).(2n+2)!) , kök pileri falan sadeleştirip 4n i 22n li olarak yazıp (n+1)! in n+1 i ile 1 tane 2 yi çarpıp alttaki 2n+2 ile sadeleştirip (2n+1)! bırakırsak
en son geriye 22n.n!.n!/(2n+1)! kalmış oluyo bu da zaten istenen şey
neyse bu kötü bi çözüm oldu çünkü bu sorunun beta gamma bulaştırılmadan çözümü olduğu belli sadece be işin içinde olmadığımdan bulamadım. uğraşıp bulursam doğru dürüst bir çözüm de yazmaya çalışacağım
beta ve gamma fonksiyonları linklerden bakabilirsin
çözüm için teşekkürler hocam bu soru final sınavımızda çıkıcak sanırım eğer tekrar bakma fırsatınız olursa ve başka bir çözümden çıkarablirseniz lütfen beni bilgilendirin (sanırım binom açılımı işe yarayacak ancak ben işlem kalabalığından çıkamadım) Bu yolda gayet sade görünüyor beta ve gamma fonksiyonlarını öğrenirsem zor değil sınavda bu yoldan gideceğim
gereksizyorumcu 01:54 08 Oca 2011 #7
yine binomsuz başka bi yoldan daha çözdüm sanırım ama onu şimdi değil de sonra yazayım 
arkası yarın gibi oldu ama yarına bırakmam inş.
arkası yarın gibi oldu ama yarına bırakmam inş.
gereksizyorumcu 02:51 08 Oca 2011 #8
sorunun çok karışık olmayan bildiğimiz şeylerle yapılmış bir çözümünü yazayım için rahat etsin dediğim gibi bu da binom kullanmıyor
x=sint dönüşümü yapalım
dsint=cost.dt , sınırlar da 0 dan pi/2 ye
(1-x²)ndx=(cos2t)n.cost.dt
=cos2n+1t dt
şimdi bunun integralini alalım
cosnx nin integralinin fomülünü kullanırsak (2 kere ∫udv=uv-∫vdu kullanıp bulabilirsin bunu ki hazırda kullanmana sakınca olduğunu sanmıyorum kitabınızın arkasındaki tabloda vardır heralde)
şimdi bu ifadenin integralin dışındaki kısmı içinde cosxsinx çarpanı barındıracağından x=0 ve x=pi/2 değerlerine hesaplanırlara sıfır olacaklarından belirli integralin sonucu hesaplanırken değerlri sıfı olur bizim amacımız acaba en son kalan integral nasıl bir değer olur bunu bulmak
her adımda integralin başına (kuvvetin 1 eksiği)/(kuvvet) çarpanı gelmkte ve her adımda kuvvet 2 azalmakta yani bunu şöyle yazabiliriz
0 ile pi/2 arasında ∫costdt =1 olduğuna göre
bu ifade baştaki i=1 den n ye kadar ∏(2i/(2i+1)) çarpımına eşit olur
bu çarpımın payını ve paydasını pay ile tekrar çarpalım
payda (2n+1)! olur , pay zaten 2n.n! kendiyle çarpılırsa 22n.(n!)² olur
sonuçta da istenen 22n.(n!)²/(2n+1)! elde edilir
dediğim gibi bu da binom kullanmıyorx=sint dönüşümü yapalım
dsint=cost.dt , sınırlar da 0 dan pi/2 ye
(1-x²)ndx=(cos2t)n.cost.dt
=cos2n+1t dt
şimdi bunun integralini alalım
cosnx nin integralinin fomülünü kullanırsak (2 kere ∫udv=uv-∫vdu kullanıp bulabilirsin bunu ki hazırda kullanmana sakınca olduğunu sanmıyorum kitabınızın arkasındaki tabloda vardır heralde)
şimdi bu ifadenin integralin dışındaki kısmı içinde cosxsinx çarpanı barındıracağından x=0 ve x=pi/2 değerlerine hesaplanırlara sıfır olacaklarından belirli integralin sonucu hesaplanırken değerlri sıfı olur bizim amacımız acaba en son kalan integral nasıl bir değer olur bunu bulmak
her adımda integralin başına (kuvvetin 1 eksiği)/(kuvvet) çarpanı gelmkte ve her adımda kuvvet 2 azalmakta yani bunu şöyle yazabiliriz
0 ile pi/2 arasında ∫costdt =1 olduğuna göre
bu ifade baştaki i=1 den n ye kadar ∏(2i/(2i+1)) çarpımına eşit olur
bu çarpımın payını ve paydasını pay ile tekrar çarpalım
payda (2n+1)! olur , pay zaten 2n.n! kendiyle çarpılırsa 22n.(n!)² olur
sonuçta da istenen 22n.(n!)²/(2n+1)! elde edilir
dönüşüm yaparak çözmeniz gerçekten çok iyi oldu hocam mantığını anladığım çözüm olunca da kolayca kavrayabilirim.. vakit ayırdığınız için çok teşekkür ederim gerçekten çok faydalı oldu benim için
Diğer çözümlü sorular alttadır.