Kaç sayı kendi yerinde

1 den n e kadar sayıların olası tüm permütasyonları yapılıp oluşan n! tane sayı elde ediliyor ve herbir dizilim için 1,2,3,...,n dizilimi referans alınıp kendi yerinde bulunan sayıların sayısı hesaplanıyor.

-Bu elde edilen sonuçların toplamı nedir?
-Bu elde edilen sonuçların kaç tanesi 1 dir?
-Bu elde edilen sonuçların kaç tanesi t≤n olmak üzere t dir?


ör: n=3 olsun
dizilim-dizilimde kendi yerinde olan sayı sayısı
123-3
132-1
213-1
231-0
312-0
321-1

sayıların toplamı 3+1+1+0+0+1=6
sayılardan 3 tanesi 1 dir
t=2 için sayılardan 0 tanesi t dir.

-elde edilen sonuçların toplamı?
n tane sayıdan herbirinin kendi sırasında olduğu durumlar için 1 puan alacaklar
1 in ilk sırada olduğu (n-1)! diziliş var buradan ( n-1)! puan gelir
2 nin ikinci sırada olduğu (n-1)! diziliş var buradan (n-1)! puan gelir
..........
n nin n. sırada olduğu (n-1)! diziliş var buradan (n-1)! puan gelir
toplamda n.(n-1)!=n!
bu elde edilen sonuçların toplamı n! olur

-kaç tanesinde sonuç 1 dir?
n=eleman sayısı t=puan türü (t=0,1,2,...n)olmak üzere
f(n,t) ifadesi n elemandan oluşan bir dizilişteki t puanlık dizilişlerin sayısı olsun
biz f(n,1) yani her elemanın sadece kendi sırasında bulunup diğer hiçbir elemanın kendi sırasında olmadığı dizilişleri saymak istiyoruz (örneğin 132=1 puan 34125=1 puan )
f(1,1)=1
f(2,1)=0
f(3,1)=3
f(4,1)=8
f(5,1)=45 şeklinde 5 elemana kadarki hesaplamaları yaptım aynı şekilde

f(1,0)=0
f(2,0)=1
f(3,0)=2
f(4,0)=9
f(5,0)=44 şeklinde hiç bir sayının kendi yerinde olmadığı hesaplamalda yapılınca

f(n,1) ile f(n,0) arasında şu ilişki ortaya çıkıyor
herhangi bir n sayısı için f(n,1) sayısı bir önceki elemanın yani (n-1) in 0 puanlık sonuçlarının n sayısıyla çarpımı , daha matematiksel ifadeyle
f(n,1)=n.f(n-1,0) formülüyle hesaplanıyor
örneğin f(5,1)=5.f(4,0)=5.9=45
ayrıca f(n,0) ifadeside n sayısının kendisinden bir önceki ve iki önceki 0 puanlık sonuçlarının toplamının (n-1) sayısıyla çarpımı şeklinde bulunuyor yine daha matematiksel ifadeyle
f(n,0)=(n-1).(f(n-1,0)+f(n-2,0))
örneğin f(5,0)=4.(f(4,0)+f(3,0))=4.(9+2)=44
tabi bu yaptıklarımda f(15,1) gibi biraz yüksek eleman sayılarının sonuçlarını hesaplamak için 15 e kadarki tüm 0 ve 1 puanlık sonuçların bulunması gibi yoğun işlem içeren hesaplara katlanılması gerekiyor.
belkide bu ifadeler toparlanıp f(n,1) in genel denklemide bulunabilir bununla uğraşamadım henüz
-Bu elde edilen sonuçların kaç tanesi t≤n olmak üzere t dir?
5 e kadarki sonuçları bir tablo halinde yazıp bu sonuçlara ulaştım bu 3. soru içinde bi çıkarım yaptım
n≥4 olduğu zaman bütün 3<t≤ n değerleri için hiç bir sonuç bu sayılar olmuyor yani her zaman 0 tanesi t dir
n=1,2,3 içinde birkaç basit işlemle kaç tane t≤n sonucu olduğu yazılabilir

sorularınızın dışında şu iki özelliği farkettim
eğer f(n,n-2) yi arıyorsak bunun kesin ifadesi C(n,2)=n(n-1)/2
örneğin f(10,8) yani 10 elemandan kaç tanesinde 8i doğru yerdedir C(10,8)=10.9/2=45
eğerf(n,n-3) ü arıyorsak buda C(n,n-3).2 ile bulunabilir
örneğin f(5,2)=C(5,2).2=10.2=20 yani 5 elemandan 2 tanesinin doğru yerde olduğu 20 diziliş vardır

bu soruyu 12. sınıflardan bir arkadaşın sorusunu gördükten sonra yazmıştım ama cevabını düşünmeden yazınca biraz ayarı kaçmış

ilk 2 sorunun cevabı doğru ama inanın 3. sorunun cevabı ne olur şu an bilmiyorum
artık düşünüp bulmaya çalışcam

2. soru için de F(n,0) tanımlamışsınız yani n tane sayılık dizilimlerden kaç tanesinde hiçbir sayı kendi yerinde değildir sorusunun cevabı aranıyor. bu soruyu yzarken hiç aklıma gelmemişti ama bu yazdığınz matematikte ünlü bir soru.
şaşkın dizilişler sorusu da deniyor.

her n için
F(n,0)= (n!/e) ye en yakın tam sayıdır.

yani F(15,1)=15.F(14,0)=15.(14!/e ye en yakın sayı) , 14!/e~32071101048,937267836058 olduğunan bu en yakın sayıyı 32071101049 alırız

F(15,1)=15.32071101049=481.066.515.735