bu integral nasıl alınır?

bu köpeğin ipinin 2∏ olduğuna emin misin çünkü benzeri bir soruyu 2∏ değil de ∏ olan şekilde görmüştüm. burada 2∏ olunca ve duvar olunca kuleyle duvar arasında köpeğin geçemeyeceğini düşündüğümüzde sağdan sola doğru saatin tersi yönünde köpeğin ipi kuleye sarılırken belli bir yerden sonra (bu yer de tam olarak tan(t/2)=t olan yani t=2,33112237 radyan gibi bişey) köpeğin kuleye sarılması bitecek ipin sarılı olmayan kısmı duvarın M yazan tarafına doğru artık ilerleyemez olacaktır yani kuleye sarılmak yerine kalan üçgensel bölgeyi tarayacaktır haliyle de hesaplama işlemi zorlaşacaktır.

dediğim gibi duvarla kulenin arasında köpek geçemiyorsa kulenin merkezini (0,1) noktası kabul ettiğimizde
şöyle bi şekil oluşacaktır

bu eğrinin içindeki alan hesaplanıp , kulenin alanı çıkarılırsa sonuç bulunur
eğrinin parametrik denklemini biliyoruz , y ekseninin solunu ayrı sağını ayrı düşünüp
x=0 için y belirlersek t=4,493409 bulunur

yani şu 2 integrali toplarsak alan bulunmuş olur

y=1-tsint-cost , x=-sint+tcost için

∫-xdy , t=2,33112237 den 4,493409 a = 14,1692
∫ydx , t=4,49340945 ten 2∏ ye = 30,55296

toplam alan 14,1692+30,55296=44,72216 , bundan kulenin alanı olan ∏ çıkarılırsa sonuç yaklaşık olarak 41,58 br² bulunur

inş. işlem hatası yapmadık bu kadar uğraşıp bi de yanlış hesaplamak kötü olurdu

şimdi gitmem gerekli akşam geldiğimde eğer cevap doğruysa açıklama yapmayı yanlışsa da yeniden çözmeyi denerim.

hocam kulenin etrafı da 2π birim olduğu için sarılma işlemi A noktasında sonlanacaktır ve max alanı tarayabilmesi için de sürekli kuleye teğet bir şekilde gidecektir.Bir kurnazlık var soruda ama tam kavrayamadım. bulamadım yani.

cevap var mı elinde ben 21,69 gibi birşey bulmuştum ama hocam ın bulduğunun neredeyse yarısı diye şüpheye düştüm.....

hocam elimde cevap yok ama π li veya o tarz düz bir cevabı var, bir kurnazlık var yani.

ilk önce köpeğin koordinatlarını parametrik olarak yazıyoruz , yeşil açıyı t olarak tanımladığımızda , köpeğin ipinin gergin olan yani kuleye sarlmamış kısmı t birim uzunluktadır. dikkatini çekiyosa duvar olduğu için normalde tarayabileceğibir kısım alan en son kısımda taranamıyor. ilk yorumda onu da söylemek istemiştim.

belli bir t açısı için köpeğin x koordinatı t.cost-sint oluyor , y koordinatı da 1-t.sint-cost oluyor

eğer duvar ortadan kaldırılırsa direk ∏ li bir sonuç bulunabilir ama duvar varken t 0 dan ∏ ye integral almadığımız için böyle birşey olmuyor.

bundan sonrası sadece bu eğrinin için hesaplanması onu da şekli ikiye bölerek yapmaya çalıştım.
ipi duvara tam değdiren en soldaki durum için t değeri 2,3311 gibi birşey
benzer şekilde ipi tam y eksenine değdiren t değeri de 4,4934 gibi bişey.
bu iki aralıkta ∫-xdy alarak eğernin y ekseniyle arasındaki alanı hesapladık
buradan 2∏ ye kadarki aralıkta da ∫ydx alarak eğerini kalan kısmını x eksenine göre hesapladık. toplamdan da kulenin alanını çıkardık.

şu an anladım söylemek istediğiniz şeyi. gayet mantıklı ve doğru. ama kısa bir yöntem olmalı hocam, öyle bir bilgimiz var.

eğer ip 2∏ değil de ∏ birim uzunluğunda olsa ve köpek kuleyle duvar arasından diğer tarafa da geçebilse sonuç yine benzer şekilde ama bu sefer ∏ li cinsten bulunabilir. hata sorunun o halini burada sormaya bikaç kez niyetlendim ama lise dışı olduğu için sormaktan çekindim.

peki üstad 2π değil de π olursa soru nasıl çözülüyor?