Burada birinci soruya verilen cevap ilginçtir. pratikliği açısından bakmanızı öneririm.
big totient (kemal kemal)
A sayısı aralarında asal olan a,b,c ( Ayrıca bu tam bölenlerin sayısı istediğimiz kadar olabilir herhangi bir kısıt yoktur. Burada örnek için üç tane alındı. ) sayıları ile tam bölüne bilmektedir. o halde ;
A dan küçük ve a ve/veya b ve/veya c ile tam bölüneMeyen
1) kaç tane sayı vardır?
2) sayıların toplamı?
3) sayıların kareleri toplamı?
4) sayıların küpleri toplamı?
.......vb.
Ben tabiki kolay olana balıklama atlayıp cevap vermeye kalkıştım;
1. soru için bulduğum cevap:
A(1-1/a)(1-1/b)(1-1/c) tane sayı vardır. (yazılışı tıpkı totient...hımm)
başlığın neden "big totient" diye atıldığını şimdi anladım. Bu ifade Eulerin totien'i andırıyor ama biraz farkla a,b,c A' nın herahangi tam bölenleri ve aralarında asal yani a,b,c asal olMayabilir. Kim buldu acaba bunu? Burada a,b,c,.. sayıları A nın asal çarpanları olarak seçildiğinde karşımıza Eulerin totient fonksiyonu çıkıyor.
big_totient
basit sayısal bir uygulama yapalım;
soru şu;
126 dan küçük 6 ve/veya 7 ile tam bölünemeyen kaç tane sayı vardır?
6 da 7 de 126 yi tam bölebiliyor , 6 ve 7 aralarında asal ozaman
126(1-1/6)(1-1/7)=102*5/7=90 tane 6 ve/veya 7 ile bölünemeyen sayı varmış.
(doğal olarak 126 dan küçük 6 ve/ veya 7 ye tam bölünebilen 36 tane sayı olacak . bi bakmak lazım doğru mu?. )
big_totient
başka bir ilginç uygulama
Bu sefer soru şu 102 den küçük asal sayıların sayısı hakkında bu formülü kullanarak neler söylenebilir?
bunun için şöyle bir yol izleyelim a,b,c,... A sayısını bölen asallar olarak seçersek bazı değerler bulmaya çalışalım;
mesela 102 sayısı 2 ile tam bölüne biliyor ozaman
102*(1-1/2)=51 tane sayı 2 ile bölüneMiyor ( yani 51 tane tek sayı var ) yani bunlar asal sayılar olabilir ,yalnız bir sayı harincinde o sayı hangisi tabiki asal bile olmayı başaramamış "1" sayısı ama durun bir şey daha eksik şu elediğimiz sayılara biraz bakalım ne yaptık 2 ye bölüne bilenleri attık iyide 2 sayısını da atmış olduk onu geri koyalım son duruma bakalım
51-1+1=51 birşey değişmedi demek ki 102 ye kadar asal sayıların sayısı küçük eşittir 51 diyebiliiriz. (kesinlikle)
diyelim ki bu değer biz fazlası ile kaba geldi ozaman 102 tam bölen başka asallara da bakalım. bi göz atınca 2,3, gördük devam edelim
102*(1-1/2)*(1-1/3)=102*1/^3=34 bu ne demekti 102 den küçük 2 ve/veya 3 e bölünemeyen 34 sayı var. bu 34 sayı içine 1 sayısı da dahil ama 2 ve 3 sayısı dahil değil son durum
34-1+2=35 demek ki 102 ye kadar asal sayıların sayısı küçük eşit 35 tir (kesinlikle). Bir önceki duruma göre daha iyibir sonuç bulduk. daha ilerleyebilirmiyiz bilmem!
Haydi diğer sorulara da cevaplar bulalım! ve ilk bulan biz olalım !
(isterseniz şu ilk bulan sözçüğünü silelim çünkü bunların cevabı var. Olsun yine uğraşalım)
*ikinci sorunun cevabını bulmak o kadar zor değil. Diğerleri belki biraz Bernoulli kat sayıları ile ilgili bilgi gerektirebilir ama dediğim gibi ikinci soruyu hemen cevaplamak mümkün.
in future :herhangi bir sabit artışlı dizinin son terimi ilkterimi ve artış miktarı biliniyorsa bu dizinin belli bir sayıya kadar olan toplamını bulmak mümkün. Peki soru şu artış miktarı sabit ve belli ,doğal sayıların n. derecen toplamını veren formülü nasıl buluruz? (dar bir örnek 1 den x kadar olan doğal sayıların kareleri toplamı?,küp toplamı yada 1 den başlayarak sabit adımlarla giderek sayıların kareleri toplamı ?......)
