sentetikgeo 23:19 10 Nis 2013 #1
1≤a,b,c≤100 koşulunu ve
(a+b)c=10a²
c²=ab
denklem sistemini sağlayan kaç (a,b,c) tam sayı üçlüsü vardır ?
(a+b)c=10a²
c²=ab
denklem sistemini sağlayan kaç (a,b,c) tam sayı üçlüsü vardır ?
gereksizyorumcu 23:37 10 Nis 2013 #2
(a+b)².c²=(10a²)²
(a+b)².ab=(10a²)²
(a+b)².b=100a³ , b=k.a olsa
(1+k)².k=100
k³+2k²+k-100=0 , k=4 bu denklemin bir kökü (k-4) ile bölersek
k²+6k+25=0 , bunun da reel kökü yok
yani b=4a ve dolayısıyla c=2a bu denklemin kökleri oluyor.
a=1,2,...,25 olmak üzere 25 kökü oluyor olması lazım.
(a+b)².ab=(10a²)²
(a+b)².b=100a³ , b=k.a olsa
(1+k)².k=100
k³+2k²+k-100=0 , k=4 bu denklemin bir kökü (k-4) ile bölersek
k²+6k+25=0 , bunun da reel kökü yok
yani b=4a ve dolayısıyla c=2a bu denklemin kökleri oluyor.
a=1,2,...,25 olmak üzere 25 kökü oluyor olması lazım.
sentetikgeo 23:41 10 Nis 2013 #3
Evet cevap 25.
(a+b)².b=100a³ ise b a'nın katı mı olmalıdır ?
(a+b)².b=100a³ ise b a'nın katı mı olmalıdır ?
gereksizyorumcu 23:42 10 Nis 2013 #4
hayır katı olmasına göre çözmedik , sadece b=a.k olsun dedik ya da k=b/a şeklinde tanımladık , k reel
sentetikgeo 23:46 10 Nis 2013 #5 hayır katı olmasına göre çözmedik , sadece b=a.k olsun dedik ya da k=b/a şeklinde tanımladık , k reel
alternatif çözüm:
c2=ab verilmiş o halde sırasıyla a , c , b geometrik seri oluşturur buradan c=ar ve b=ar2 olarak görürsek
(a+b)c=10a2
(a+ar)ar2=10a2
(1+r2)r=10
r=2 kolayca görülüyor demekki sayılar a , 2a , 4a
maximum {4a } 100 ise
maximum {a} 25
c2=ab verilmiş o halde sırasıyla a , c , b geometrik seri oluşturur buradan c=ar ve b=ar2 olarak görürsek
(a+b)c=10a2
(a+ar)ar2=10a2
(1+r2)r=10
r=2 kolayca görülüyor demekki sayılar a , 2a , 4a
maximum {4a } 100 ise
maximum {a} 25
sentetikgeo 00:54 11 Nis 2013 #7
Teşekkür ederim öğretmenim.