1988 Çin Alıştırma Sorusu

{3,4,5,6,...,n} kümesinin içlerinden seçilen iki elemanın (farklı olmak zorunda değil) çarpımının aynı kümede olmadığı iki kümeye ayrılmasını mümkün kılan en büyük n i bulunuz.



anlatımı toparlayamadım sanırım
kısaca açıklama yapayım,
verilen kümeyi iki elemanının çarpımı yine aynı kümede olmayan iki kümeye ayırabilmemizi sağlayan en büyük n i istiyor. ayrıca çarpımı alınacak elemanlar farklı olmak zorunda değil yani 5 bi kümedeyse 25 o kümede olmamalı.

alt kümeler x ve y olsun 3 te x in elemanı olsun
o halde 9 y nin elemanı olacak
o halde 81 x in elemanı olacak
şimdi 27 x in elemanı olamaz çünkü 3.27=81

x= 3,81
y=9,27

243 hiçbirine yazılmaz o halde 242 n sayısının en büyük değeri diyelim bir başlangıç yapalım

Şimdiye kadar n≥81 kabul ettik (hatta n<243 olduğu gösterildi) ve x={3, 81, ...}, y={9, 27, ...} bulduk. Bu durum üzerinden devam edelim.

4∈y olsun: x={3, 81, ...} y={9, 27, 4, ...}

4.9=36∉y o yüzden x={3, 81, 36, ...}, y={9, 27, 4, ...}

36:3=12∉x ve √36=6∉x o yüzden x={3, 81, 36, ...}, y={9, 27, 4, 12, 6, ...}

6.12=72∉y o yüzden x={3, 81, 36, 72, ...}, y={9, 27, 4, 12, 6, ...}

şimdi 72:3=24∉x ve 6.4=24∉y olduğundan 4∈y olamaz.

Yani n≥81 durumunda 4∈x olmak zorundadır. Şu ana gelinen nokta :

x={3, 81, 4, ...}, y={9, 27, ...}

Biraz daha devam edelim:

3.4=12∉x o yüzden x={3, 81, 4, ...}, y={9, 27, 12, ...}

aynı şekilde biraz daha devam edilirse
x={3,4,5,6,7,8,81,82,83,84,...,242}
y={9,10,11,...,80}
istenen şartı sağlayan iki alt küme...

aerturk ve mathematics hocalarım ellerinize sağlık
akşam bi bakayım uğraşması/çözümü zevkli olabilecek başka sorular bulabilirsem paylaşmaya çalışayım