x³-3x²+1=0 denkleminin [-1,0] aralığında bir köke sahip olduğunu gösteriniz
Polinom fonksiyon her yerde sürekli olduğundan, bahsedilen [-1,0] aralığında da süreklidir. Ve Bolzano gereği f(-1)<0 ve f(0)>0 olduğundan sözkonusu aralıkta en az bir x0∈(-1,0) noktası vardır. Demek ki [-1,0] aralığında en az bir kökü vardır, ispat biter.
Hatta bunun (x0) bir tek olduğu da gösterilebilir. Denklemin (-1,0) aralığında x0'dan başka bir kökü olsaydı, birinci türevinin de bu ralıkta en az bir kökü olurdu. Halbuki 3x2-6x=0'dan x1=2 ve x2=0 kökleri bu aralığa ait değildir. Demek ki bu aralıkta tek bir kökü vardır.
Hatta bunun (x0) bir tek olduğu da gösterilebilir. Denklemin (-1,0) aralığında x0'dan başka bir kökü olsaydı, birinci türevinin de bu ralıkta en az bir kökü olurdu. Halbuki 3x2-6x=0'dan x1=2 ve x2=0 kökleri bu aralığa ait değildir. Demek ki bu aralıkta tek bir kökü vardır.
Polinom fonksiyon her yerde sürekli olduğundan, bahsedilen [-1,0] aralığında da süreklidir. Ve Bolzano gereği f(-1)<0 ve f(0)>0 olduğundan sözkonusu aralıkta en az bir x0∈(-1,0) noktası vardır. Demek ki [-1,0] aralığında en az bir kökü vardır, ispat biter.
Hatta bunun (x0) bir tek olduğu da gösterilebilir. Denklemin (-1,0) aralığında x0'dan başka bir kökü olsaydı, birinci türevinin de bu ralıkta en az bir kökü olurdu. Halbuki 3x2-6x=0'dan x1=2 ve x2=0 kökleri bu aralığa ait değildir. Demek ki bu aralıkta tek bir kökü vardır.
Hatta bunun (x0) bir tek olduğu da gösterilebilir. Denklemin (-1,0) aralığında x0'dan başka bir kökü olsaydı, birinci türevinin de bu ralıkta en az bir kökü olurdu. Halbuki 3x2-6x=0'dan x1=2 ve x2=0 kökleri bu aralığa ait değildir. Demek ki bu aralıkta tek bir kökü vardır.
Hoşbulduk...