korkmazserkan 23:39 04 Ağu 2012 #1
1)Her sırada, üzerine yan yana 10 kere ip dolanabilen bir kuyu çıkrığı vardır.
Bu çıkrığa üst üste 4 kat ip dolanabilmektedir.
Çıkrığın çevresi ilk kat için 0,5 m dir. Her sonraki katta bu çevre 0,1 m daha
...artmaktadır.
Böyle bir çıkrığa sarılabilecek iple, su düzeyi kç metre derinde olan bir kuyudan su çekilebilir?
------------------------------------------------------------------------------------------
2)Bir kenarının uzunluğu 10 birim olan eşkenar üçgenin kenarlarına eşit aralıklarla paraleller çizilerek her kenar 10 parcaya bölünüp küçük eşkenar üçgenler oluştuşturuluyor. Kenar uzunluğu 1 birim olan üçgenlerden toplam olarak en az kaç kenar silinmelidir ki, kalan şekilde hiç üçgen bulunmasın
------------------------------------------------------------------------------------------
3)Bir kübün üzerine 1,2,3,4,5,6 sayılarını işaretleyerek bir zar yapmak istiyorsunuz.
Ortak bir ayrıta sahip iki yüze komşu yüzler dersek,
ardışık sayıların komşu yüzler üstünde yer alması koşuluyla,
bu zarı kaç değişik biçimde yaapabiliriz
-------------------------------------------------------------------------------------------
4)Bir sınıfta her öğrenci gün boyunca 1,2,3 ya da 4 elma yemiştir.
2 elma yiyenlerin sayısı 3 elma yiyenlerinkine eşit olduğuna
ve öğrencilerin yedikleri toplam elma sayısı
......
sınıftaki öğrenci sayısından 36 fazla olduğuna göre,
en az 3 elma yemiş kaç ögrenci vardır?
Bu çıkrığa üst üste 4 kat ip dolanabilmektedir.
Çıkrığın çevresi ilk kat için 0,5 m dir. Her sonraki katta bu çevre 0,1 m daha
...artmaktadır.
Böyle bir çıkrığa sarılabilecek iple, su düzeyi kç metre derinde olan bir kuyudan su çekilebilir?
------------------------------------------------------------------------------------------
2)Bir kenarının uzunluğu 10 birim olan eşkenar üçgenin kenarlarına eşit aralıklarla paraleller çizilerek her kenar 10 parcaya bölünüp küçük eşkenar üçgenler oluştuşturuluyor. Kenar uzunluğu 1 birim olan üçgenlerden toplam olarak en az kaç kenar silinmelidir ki, kalan şekilde hiç üçgen bulunmasın
------------------------------------------------------------------------------------------
3)Bir kübün üzerine 1,2,3,4,5,6 sayılarını işaretleyerek bir zar yapmak istiyorsunuz.
Ortak bir ayrıta sahip iki yüze komşu yüzler dersek,
ardışık sayıların komşu yüzler üstünde yer alması koşuluyla,
bu zarı kaç değişik biçimde yaapabiliriz
-------------------------------------------------------------------------------------------
4)Bir sınıfta her öğrenci gün boyunca 1,2,3 ya da 4 elma yemiştir.
2 elma yiyenlerin sayısı 3 elma yiyenlerinkine eşit olduğuna
ve öğrencilerin yedikleri toplam elma sayısı
......
sınıftaki öğrenci sayısından 36 fazla olduğuna göre,
en az 3 elma yemiş kaç ögrenci vardır?
son soruya 12 diyorum ben çözümümü yazayım:
1 elma yiyen ------a kişi
2 elma yiyen-------x kişi
3 elma yiyen-------x kişi
4 elma yiyen--------b kişi vardır.
toplam yenen elma sayısı sınıftaki öğrenci sayısından 36 fazla ise; a+2x+3x+4b=2x+a+b+36
burdan 12=x+b (en az 3 elma yiyenlerin sayısı 3 ve 4 elma yiyenlerin sayısıdır. Yani x+b)
1 elma yiyen ------a kişi
2 elma yiyen-------x kişi
3 elma yiyen-------x kişi
4 elma yiyen--------b kişi vardır.
toplam yenen elma sayısı sınıftaki öğrenci sayısından 36 fazla ise; a+2x+3x+4b=2x+a+b+36
burdan 12=x+b (en az 3 elma yiyenlerin sayısı 3 ve 4 elma yiyenlerin sayısıdır. Yani x+b)
İlk soruda çıkrığa her kat için yan yana 10 sargı sarılabiliyormuş. her bir sargı çıkrığın çevresi kadardır.
ilk kat için bir sargıda 0,5 m 10 sargıda 5 m ip gider.
ikinci kata geçtiğimizde çıkrığın kalınlığı artıyor. 2. katta çevresi 0,6 m oldu 10 sargıda 6 m olur.
bu şekilde dört kat atılıyorsa 5+6+7+8=26 m ip kullanılmış olur. (Soruyu yanlış anlamış olabilirim yanlışsa kusura bakma.
)
ilk kat için bir sargıda 0,5 m 10 sargıda 5 m ip gider.
ikinci kata geçtiğimizde çıkrığın kalınlığı artıyor. 2. katta çevresi 0,6 m oldu 10 sargıda 6 m olur.
bu şekilde dört kat atılıyorsa 5+6+7+8=26 m ip kullanılmış olur. (Soruyu yanlış anlamış olabilirim yanlışsa kusura bakma.
)
gereksizyorumcu 23:46 30 Ağu 2012 #4
2 ve 3. sorular kalmış
2.
n için çözelim
şekil çizilip tabana paralel çizgileri kat bölmeleri olan bir bina gibi düşünüldüğünde n katlı bir bina elde edilir ve tabandan başlayıp her katta sırasıyla birbiriyle kanr komşusu olmayan 1 birimlik üçgenlerden n,n-1,n-2,...,2,1 tane bulunur. bu üçgenlerin hiçbir ortak kenarı olmadığı için herbirinden en az 1 kenar silinmelidir öyleyse toplamda 1+2+...+(n-1)+n=(n²+n)/2 tane kenar silinmek zorundadır.
(n²+n)/2 kenar silerek geride üçgen bırakılmamasını da garanti edebilirsek soru çözümlenmiş olur.
bunun içinse herhangi bir kenar seçilip onun ve paralelindeki tüm 1 birimlik kenarların silinmesi yeterlidir. tüm üçgenlerin kenarları büyük üçgenin kenarlarına paralel olacağına göre bir paralel doğrultu üzerindeki tüm kenarların silinmesi geriye üçgen bırakmamayı garanti eder. bir paralel üzeindeyse zaten başta saydığımız küçük üçgen sayısı kadar yani (n²+n)/2 kenar vardır.
yukardaki soruya dönersek bahsedilen işlem için en az 10.11/2=55 kenar silmek gerekir ve 55 kenarı anlatıldığı (başka silme yolları da tabiki mevcut) şekilde silmek yeterlidir.
3.
zarı döndürmek bir yüzün komşularını (ve dolayısıyla karşısındaki yüzü) değiştirmeyeceğinden genelliği bozmadan zarın yerdeki yüzünün 1 olduğunu söyleyebiliriz.
karşısında 2 olamaz (komşu olması gerekli)
karşısında 3 varsa
2 nereye gelirse gelsin 1 e ve 3 e komşu olacaktır. 456 ise ardışık dizilmelidir yani 4 ile 6 karşılıklı gelmelidir. buradan 2 ile de 5 karşılıklı olur sonuçta tüm yüzlerin karşı ve komşuları tekl şekilde belirlendi buradan 1 durum gelir.
karşısında 4 varsa
2 ile 3 komşu olur 5 ile de 6 komşu olur
2 nin karşısında 6 da olabilir 5 de . buradan 2 durum gelir
karşısında 5 varsa
bu durum karşısında 3 olmakla simetrik olmalı. bu sefer 3 ü ortada ve 6 nın karşısında bırakıp 2 ile 4 karşılıklı olmak üzere 234 ardışık
buradan da 1 durum gelecektir.
karşıda 6 varsa
2345 sırayla 2ile 4 ve 3 ile 5 karşıklı yüzlere gelecek şekilde dizilmelidir. yine tek durum
toplam 5 değişik zar oluşturulabilir.
2.
n için çözelim
şekil çizilip tabana paralel çizgileri kat bölmeleri olan bir bina gibi düşünüldüğünde n katlı bir bina elde edilir ve tabandan başlayıp her katta sırasıyla birbiriyle kanr komşusu olmayan 1 birimlik üçgenlerden n,n-1,n-2,...,2,1 tane bulunur. bu üçgenlerin hiçbir ortak kenarı olmadığı için herbirinden en az 1 kenar silinmelidir öyleyse toplamda 1+2+...+(n-1)+n=(n²+n)/2 tane kenar silinmek zorundadır.
(n²+n)/2 kenar silerek geride üçgen bırakılmamasını da garanti edebilirsek soru çözümlenmiş olur.
bunun içinse herhangi bir kenar seçilip onun ve paralelindeki tüm 1 birimlik kenarların silinmesi yeterlidir. tüm üçgenlerin kenarları büyük üçgenin kenarlarına paralel olacağına göre bir paralel doğrultu üzerindeki tüm kenarların silinmesi geriye üçgen bırakmamayı garanti eder. bir paralel üzeindeyse zaten başta saydığımız küçük üçgen sayısı kadar yani (n²+n)/2 kenar vardır.
yukardaki soruya dönersek bahsedilen işlem için en az 10.11/2=55 kenar silmek gerekir ve 55 kenarı anlatıldığı (başka silme yolları da tabiki mevcut) şekilde silmek yeterlidir.
3.
zarı döndürmek bir yüzün komşularını (ve dolayısıyla karşısındaki yüzü) değiştirmeyeceğinden genelliği bozmadan zarın yerdeki yüzünün 1 olduğunu söyleyebiliriz.
karşısında 2 olamaz (komşu olması gerekli)
karşısında 3 varsa
2 nereye gelirse gelsin 1 e ve 3 e komşu olacaktır. 456 ise ardışık dizilmelidir yani 4 ile 6 karşılıklı gelmelidir. buradan 2 ile de 5 karşılıklı olur sonuçta tüm yüzlerin karşı ve komşuları tekl şekilde belirlendi buradan 1 durum gelir.
karşısında 4 varsa
2 ile 3 komşu olur 5 ile de 6 komşu olur
2 nin karşısında 6 da olabilir 5 de . buradan 2 durum gelir
karşısında 5 varsa
bu durum karşısında 3 olmakla simetrik olmalı. bu sefer 3 ü ortada ve 6 nın karşısında bırakıp 2 ile 4 karşılıklı olmak üzere 234 ardışık
buradan da 1 durum gelecektir.
karşıda 6 varsa
2345 sırayla 2ile 4 ve 3 ile 5 karşıklı yüzlere gelecek şekilde dizilmelidir. yine tek durum
toplam 5 değişik zar oluşturulabilir.