1. #1

    Grubu
    Üye
    İş
    Üniversite

    aritmetik ters

    540 ın mod 1003'e göre tersi nedir, nasıl bulunur

  2. #2

    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    üstünde bayağı bi düşündüm ama kısa bi yol bulamadım, bulduklarımı yazayım siz seçersiniz.

    1.yol
    1003=17.59 olduğundan 540^(16.58)=1 (mod1003)
    16.58=928 olduğundan 540^927 yi arıyoruz, bunu da karesini alarak ve 540 ile çarparak (927-926-463-462-231-230-115-114-57-56-28-14-7-6-3-2-1) yani bu sırayı 540 ın kuvvetlerinde tersten giderek buluruz.
    cevap 990

    2.yol
    1+1003.k=540.t ifadesinde t nin tamsayı olmasını sağlayan k arıyoruz.
    540=3³.4.5 olduğundan parça parça bakalım
    27 modunda incelersek
    1+4.k=0 olan k arıyoruz, k=20+27m şeklinde bi sayıdır
    4 modunda incelersek (5 modunu da birleştirelim 1003 iki modda da 3 e denk)
    1+3.k=0 , k=13+20n şeklinde bi sayıdır
    bu ikisi birleşirse
    zaten ikisi de 7 eksiği
    20.27-7=533 olduğundan
    k=533+540.s şekilli bi sayı olur
    k=533 için
    t=(1003.533+1)/540=990 bulunur


    bu sorunun kesin kolay bir yolu vardır gibime geliyor ama şimdilik bulamadım. bi akıl tutulması yaşıyor olabilirim o yüzden uygun bi zamanda bi kez daha bakayım diyerek noktalıyorum.

  3. #3

    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    ayrıca 2. yolun uzun göründüğüne bakmayın hem göründüğünden hem de 1. yoldan daha kısa

  4. #4

    Grubu
    Üye
    İş
    Üniversite
    teşekürler

  5. #5

    Grubu
    Üye
    İş
    Üniversite
    1003=1.540+463
    540=463+77
    463=6.77+1
    77=77.1
    yukarıdaki algoritmanın ters adımlarıyla
    1=463-6.77=463-6(540-463)
    =7.463-6.540=7(1003-540)-6.540
    =7.1003-13.540
    => -13.540=1 (mod 1003) yani -13 yada denk olduğu 990

    çözümlerden biride bu ama anlamadım özellikle algoritmanın ters adımları kısmını
    anlayan varsa anlatsın lütfen

  6. #6

    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Matematik Öğretmeni
    Alıntı taktik'den alıntı Mesajı göster
    1003=1.540+463
    540=463+77
    463=6.77+1
    77=77.1
    buradaki ilk dört satır ÖKLİD ALGORİTMASI bu algoritma iki sayının OBEB ini bulmak için kullanılır

    daha sonra ters adımlarla a.1003+b.540=1 şartını sağlayan a ve b tam sayılarını buluyoruz (tabi burada 1003 ve 540 aralarında asal olduğundan bu ifade çalışr)
    ters adımlarda şu şekilde işliyor:
    yukardaki 3. satırdan 1 i çekip 463-6.77=1 yazılır.......(*)
    2. satırdan 77 çekilip bulunan 77=540-463 ifadesi bir önceki durumda .....(*) da yazılır
    463-6.(540-463)=1
    463-6.540+6.463=1
    7.463-6.540=1 ..........(#)
    buradada 463 yerine ilk satırdan 463 çekilip bulunan 463=1003-540 ifadesi yazılırsa
    7(1003-540)-6.540=1
    7.1003-7.540-6.540=1
    7.1003-13.540=1

    demekki a.1003+b.540=1 ifadesini sağlayan a=7 ve b=-13 tam sayıları bulunur
    tabi bunlar tek çözüm değildir başka a ve b tam sayılarıda vardır

    bu ve daha fazlası için bence lineer diophant denklemleri hakkında internette bolca bilgi bulabilirsiniz

  7. #7

    Grubu
    Üye
    İş
    Üniversite
    çok teşekür ederim ayrıntılı cevap için

  8. #8

    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    Alıntı taktik'den alıntı Mesajı göster
    1003=1.540+463
    540=463+77
    463=6.77+1
    77=77.1
    yukarıdaki algoritmanın ters adımlarıyla
    1=463-6.77=463-6(540-463)
    =7.463-6.540=7(1003-540)-6.540
    =7.1003-13.540
    => -13.540=1 (mod 1003) yani -13 yada denk olduğu 990

    çözümlerden biride bu ama anlamadım özellikle algoritmanın ters adımları kısmını
    anlayan varsa anlatsın lütfen
    bu çözümü hiç düşünmemiştim ama dediğim gibi sorunun benim yaptıklarımdan pratik ya da en azından daha şık bi çözümü olmalıydı, varmış
    hocamız da mantığını açıklamış zaten.


 

  1. Bu yazıyı beğenerek
    destek
    verebilirsiniz

    Foruma üye olmana gerek yok! Facebook hesabınla yorumlarını bekliyoruz!

Benzer konular

  1. Ters fonksiyon
    Mustafa Taşdemi bu konuyu 9. sınıf matematik soruları forumunda açtı
    Cevap: 1
    Son mesaj : 08 Ara 2012, 22:30
  2. aritmetik ters
    taktik bu konuyu Özel Matematik Geometri forumunda açtı
    Cevap: 1
    Son mesaj : 23 Kas 2012, 00:02
  3. ters orantı
    kubilayabitalha bu konuyu Özel matematik soruları forumunda açtı
    Cevap: 4
    Son mesaj : 03 Eki 2012, 00:50
  4. [Ziyaretçi] iç ter ve dış ters açılar
    gözde çalışkan bu konuyu 7. sınıf matematik soruları forumunda açtı
    Cevap: 1
    Son mesaj : 31 Mar 2011, 19:47
  5. Aritmetik Dizi Nedir? Aritmetik Dizinin Formülü Aritmetik Dizinin Özellikleri
    Alp bu konuyu Matematik Formülleri forumunda açtı
    Cevap: 0
    Son mesaj : 04 Şub 2011, 08:21
Forum Kullanım ve Gizlilik Kuralları