duncanduncan 00:56 12 Oca 2011 #1
Alanı 96 cm² olan dikdörtgen şeklindeki bir kartondan tüm yüzeyleri kapalı bir prizma yapılıyor.
Buna göre,prizmanın hacmi en çok kaç cm³ olabilir?
Cevap 64
şekille açıklarsanız sevinirim.
Buna göre,prizmanın hacmi en çok kaç cm³ olabilir?
Cevap 64
şekille açıklarsanız sevinirim.
gereksizyorumcu 01:46 12 Oca 2011 #2
öncelikle prizmanın dikdörtgenler prizması olduğunu varsayıyorum (aksi halde işin içinden çıkılması biraz zor en sonda açıklayacağım)
prizmanın ayrıtları a,b ve c olsun
prizmanın alanı kartonun alanına eşit olacaktır. (kartonun bant ya da yapıştırıcı gibi araçlarla israf edilmeden kullanıldığını varsayıyorum)
prizmanın alanı 2.(ab+bc+ac)=96
bize sorulansa a.b.c nin maksimum değeri nedir?
ab+bc+ac=48 olduğundan ve aritmetik ortalama her zaman geometrik ortalamadan büyük olduğundan
(ab+bc+ac)/3 ≥ ∛(ab.bc.ac)= ∛a²b²c²
16³ ≥a²b²c² → abc ≤ 4³=64 bulunur
a=b=c için eşitlik olduğu açıktır yani küp yaparsanız bu istenen durumu elde edersiniz.
şimdi gelelim dikdörtgenler prizması yerine başka prizmalara izin verilmesi durumuna
tabanı düzgün bir çokgen yapıp kenar sayısını arttırdığımız zaan bir silindire doğru ilerlemiş oluruz
gerekli işlemler yapıldığında toplam hacmin r=4/√pi değerinde maksimum olduğu ve bu hacmin de 128/√pi~72,22 olduğu bulunuyor. bu da soruda istenenden daha büyük bir hacim.
prizmanın ayrıtları a,b ve c olsun
prizmanın alanı kartonun alanına eşit olacaktır. (kartonun bant ya da yapıştırıcı gibi araçlarla israf edilmeden kullanıldığını varsayıyorum)
prizmanın alanı 2.(ab+bc+ac)=96
bize sorulansa a.b.c nin maksimum değeri nedir?
ab+bc+ac=48 olduğundan ve aritmetik ortalama her zaman geometrik ortalamadan büyük olduğundan
(ab+bc+ac)/3 ≥ ∛(ab.bc.ac)= ∛a²b²c²
16³ ≥a²b²c² → abc ≤ 4³=64 bulunur
a=b=c için eşitlik olduğu açıktır yani küp yaparsanız bu istenen durumu elde edersiniz.
şimdi gelelim dikdörtgenler prizması yerine başka prizmalara izin verilmesi durumuna
tabanı düzgün bir çokgen yapıp kenar sayısını arttırdığımız zaan bir silindire doğru ilerlemiş oluruz
gerekli işlemler yapıldığında toplam hacmin r=4/√pi değerinde maksimum olduğu ve bu hacmin de 128/√pi~72,22 olduğu bulunuyor. bu da soruda istenenden daha büyük bir hacim.
MatematikciFM 02:02 12 Oca 2011 #3
Elinize sağlık üstadım.
duncanduncan 02:42 12 Oca 2011 #4
teşekkürler
MatematikciFM 02:50 12 Oca 2011 #5
Biz okulda aritmetik ve geometrik ortalamayı anlatıyoruz ama aritmetik ortanın, geometrik ortadan daha büyük olduğunun üzerinde durmuyor, bununla ilgili soru çözmüyoruz. Bu soruda aritmetik ve geometrik ortalamadan yararlanılabileceği aklıma gelmedi. Bu haliyle bu soru lise için biraz ağır denilebilir . Öğrenci, soruyu aritmetik ve geometrik ortadan çözülebileceğini kestirirse ne ala, yoksa gitti soru.
Diğer çözümlü sorular alttadır.