Arılar ne kadar yol giderler?

Anasayfa matematik zeka soruları başlığı altında yayınlanan Arılar ne kadar yol giderler? adlı soruya yapılabilecek çözümlerden birini yazmak istiyorum.


Her adı hedef olarak kendisine saatin tersi yönündeki arıyı seçtiğinden ve herhangi bir anda ona doğru ilerliyo olacağından arıların herhangi bir andaki anlık hız vektörlerini çizdiğimizde (yol eğrilerinin teğeti) başlangıçtaki şeklin yani karenin ufaltılmış boyutunu göreceğizdir. Her an bu hız vektörleri birbirine dik olacaktır. Bunun sonucu olarak bir arı hedefindeki arıya kendi hızıyla yaklaşacaktır ama hedefindeki arının bu doğrultuda hız bileşeni yoktur ve hedefteki arının aradaki mesafeye bir etkisi de olmayacaktır. Sonuçta aradaki tüm mesafe hedefe ilerleyen arı tarafından hiç değişmeden katedildiğinde hedefe varılmış olacaktır. Başlangıçta arada 1km olduğuna göre her bir arı 1km gittiğinde merkezde buluşurlar.

Benzer soruyu 6 tane arı ve kenarı 1km olan hayali bir düzgün altıgen için de düşünebiliriz. (ya da herhangi bir düzgün çokgen)
bu durumda da her an hız vektörleri düzgün bir altıgen görünümünde olacağından 1 arı hedefe 1 birm yaklaşırken hedefteki arı da kendisinden 1/2 birim uzaklaşacağından arı 1birim mesafe ilerlediğinde aradaki mesafeyi ancak 1/2 birim azaltabileceğinden başlangıçtaki 1km lik mesafe bittiğinde tam 2km yol almış olacaktır.

belirtmeden geçmeyelim bu soru arıların yol eğrileri y=f(x) olarak tanımlanıp , sorunun koşulları (eğrinin teğetinin bir sonraki arının bulunduğu noktadan geçmesi gibi) altında f(x) bulunup bu eğrinin uzunluğu integral yardımıyla hesaplanabilir
haliyle biraz uzun ve zor bir yol olacaktır.