A = ap.br.cs farklı asal çarpanlarının çarpımı şeklinde olsun.
* A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı, (p + 1).(r + 1).(s + 1)
* A sayısının pozitif tam bölenlerinin ters işaretlileri de negatif tam bölenidir. A sayısının tam sayı bölenleri sayısı
2.(p + 1).(r + 1).(s + 1)
* A sayısının tam sayı bölenlerinin toplamı sıfırdır.
* A sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamı
* A'dan küçük A ile aralarında asal olan doğal sayıların adeti A.[(a-1)/a].[(b-1)/b].[(c-1)/c]
* A sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin çarpımı A(p + 1).(r + 1).(s + 1)/2
* A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı, (p + 1).(r + 1).(s + 1)
* A sayısının pozitif tam bölenlerinin ters işaretlileri de negatif tam bölenidir. A sayısının tam sayı bölenleri sayısı
2.(p + 1).(r + 1).(s + 1)
* A sayısının tam sayı bölenlerinin toplamı sıfırdır.
* A sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamı
* A'dan küçük A ile aralarında asal olan doğal sayıların adeti A.[(a-1)/a].[(b-1)/b].[(c-1)/c]
* A sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin çarpımı A(p + 1).(r + 1).(s + 1)/2
ÖRNEK 1:
K=4³.10².63
K sayısının asal çarpanlarının toplamı nedir ?
ÇÖZÜM 1:
Öncelikle K sayısını asal çarpanlarına ayırmamız gerekmektedir.
4³=26
10²=5².2²
63=7.9=7.3²
Buna göre,
K=26.5².2².7.3²=28.3².5².7
Olarak yazdığımızda K sayısının asal çarpanlarının 2,3,5,7 olduğunu buluruz.
2+3+5+7=17 bulunur.
K=4³.10².63
K sayısının asal çarpanlarının toplamı nedir ?
ÇÖZÜM 1:
Öncelikle K sayısını asal çarpanlarına ayırmamız gerekmektedir.
4³=26
10²=5².2²
63=7.9=7.3²
Buna göre,
K=26.5².2².7.3²=28.3².5².7
Olarak yazdığımızda K sayısının asal çarpanlarının 2,3,5,7 olduğunu buluruz.
2+3+5+7=17 bulunur.
ÖRNEK 2:
1440 sayısının,
a) Asal çarpanlarını bulunuz.
b) Pozitif Tam bölen sayısını bulunuz.
c) Negatif Tam bölen sayısını bulunuz.
d) Tam Bölen Sayısını Bulunuz.
ÇÖZÜM 2:
1440 sayısını öncelikle asal çarpanlarına ayıralım.
1440=2⁵.3².5 şeklindedir.
a) 1440 sayısının asal çarpanları 2,3, ve 5'dir.
b) Pozitif tam bölen sayısı üslerin birer fazlasının çarpımıdır. (5+1).(2+1).(1+1)=36 bulunur.
c) Negatif tam bölen sayısı pozitif tam bölen sayısına eşittir ve 36 tanedir.
d) Tam bölen sayısı Pozitif tam bölen ve Negatif Tam bölen sayısının toplamı kadardır. 36+36=72 bulunur.
1440 sayısının,
a) Asal çarpanlarını bulunuz.
b) Pozitif Tam bölen sayısını bulunuz.
c) Negatif Tam bölen sayısını bulunuz.
d) Tam Bölen Sayısını Bulunuz.
ÇÖZÜM 2:
1440 sayısını öncelikle asal çarpanlarına ayıralım.
1440=2⁵.3².5 şeklindedir.
a) 1440 sayısının asal çarpanları 2,3, ve 5'dir.
b) Pozitif tam bölen sayısı üslerin birer fazlasının çarpımıdır. (5+1).(2+1).(1+1)=36 bulunur.
c) Negatif tam bölen sayısı pozitif tam bölen sayısına eşittir ve 36 tanedir.
d) Tam bölen sayısı Pozitif tam bölen ve Negatif Tam bölen sayısının toplamı kadardır. 36+36=72 bulunur.
ÖRNEK 3:
a ve b pozitif sayılar olmak üzere,
b²=24a ifadesinde a+b toplamının alabileceği en küçük değer nedir ?
ÇÖZÜM 3:
b²=24a verilmiş öncelikle 24 sayısını asal çarpanlarına ayıralım
24=8.3=2³.3 olur.
b²=2³.3.a
burada 2³.3.a ifadesi bir sayının karesi olmalı bunun için kuvvetlerini çift hale
getirmeliyiz.Bunun için en az sağlayabilecek sayıları seçelim,
a=2.3 olduğunda sayımız 2⁴.3² olur ve tam kare bir ifade olur.
a=2.3=6
b²=2⁴.3²=144 ise b=12 olur
min(a+b)=18 bulunur.
a ve b pozitif sayılar olmak üzere,
b²=24a ifadesinde a+b toplamının alabileceği en küçük değer nedir ?
ÇÖZÜM 3:
b²=24a verilmiş öncelikle 24 sayısını asal çarpanlarına ayıralım
24=8.3=2³.3 olur.
b²=2³.3.a
burada 2³.3.a ifadesi bir sayının karesi olmalı bunun için kuvvetlerini çift hale
getirmeliyiz.Bunun için en az sağlayabilecek sayıları seçelim,
a=2.3 olduğunda sayımız 2⁴.3² olur ve tam kare bir ifade olur.
a=2.3=6
b²=2⁴.3²=144 ise b=12 olur
min(a+b)=18 bulunur.
ÖRNEK 4:
A=2³.5².6²
sayısının asal bölenleri hariç kaç tane pozitif tam böleni vardır ?
ÇÖZÜM 4:
A=2³.5².3².2²
A=2⁵.3².5² şeklinde çarpanlara ayırılır. A sayısının 2,3 ve 5 olmak üzere 3 tane asal böleni vardır.
pozitif tam bölenleri saysı:(5+1).(2+1).(2+1)=54
Bunlardan 3 tanesi asal olup bunların haricinde istendiği için 54-3=51 bulunur.
ÖRNEK 5:
P=15a-1 sayısının tam bölenleri sayısı 18 ise P sayısı kaçtır?
ÇÖZÜM 5:
15a-1=3a-1 .5a-1
Tam bölenleri sayısı 2.(a-1+1).(a-1+1)=18
a.a=9 ise a=3 tür.
P=15a-1=153-1=152=225
ÖRNEK 6:
4000...000 (tüm sayıda n tane sıfır) 70 tane tam böleni varsa n kaç olmalıdır.
ÇÖZÜM 6:
4000...000=22.10n=22.2n.5n=2n+2.5n
Tam bölenleri sayısı 2.(n+2+1).(n+1)=70
(n+3).(n+1)=35=7.5
n+3=7 ve n+1=5
n=4 tür.
ÖRNEK 7:
111+222+333+...+888 toplamının kaç tane negatif tam sayı böleni vardır?
ÇÖZÜM 7:
111+222+333+...+888=111.(1+2+3+...+8)=111.[8.9/2]=111.36=37.3.2.2.3.3=371.22.33
negatif tam sayı böleni (1+1).(2+1).(3+1)=2.3.4=24
A=2³.5².6²
sayısının asal bölenleri hariç kaç tane pozitif tam böleni vardır ?
ÇÖZÜM 4:
A=2³.5².3².2²
A=2⁵.3².5² şeklinde çarpanlara ayırılır. A sayısının 2,3 ve 5 olmak üzere 3 tane asal böleni vardır.
pozitif tam bölenleri saysı:(5+1).(2+1).(2+1)=54
Bunlardan 3 tanesi asal olup bunların haricinde istendiği için 54-3=51 bulunur.
ÖRNEK 5:
P=15a-1 sayısının tam bölenleri sayısı 18 ise P sayısı kaçtır?
ÇÖZÜM 5:
15a-1=3a-1 .5a-1
Tam bölenleri sayısı 2.(a-1+1).(a-1+1)=18
a.a=9 ise a=3 tür.
P=15a-1=153-1=152=225
ÖRNEK 6:
4000...000 (tüm sayıda n tane sıfır) 70 tane tam böleni varsa n kaç olmalıdır.
ÇÖZÜM 6:
4000...000=22.10n=22.2n.5n=2n+2.5n
Tam bölenleri sayısı 2.(n+2+1).(n+1)=70
(n+3).(n+1)=35=7.5
n+3=7 ve n+1=5
n=4 tür.
ÖRNEK 7:
111+222+333+...+888 toplamının kaç tane negatif tam sayı böleni vardır?
ÇÖZÜM 7:
111+222+333+...+888=111.(1+2+3+...+8)=111.[8.9/2]=111.36=37.3.2.2.3.3=371.22.33
negatif tam sayı böleni (1+1).(2+1).(3+1)=2.3.4=24