İspat Yöntemleri
Matematik derslerinde kullandığımız ispat yöntemleri şunlardır:
I. Doğrudan ispat:
Bu yöntem temel ispat yöntemleri arasında en basiti olarak görülür. Yönteme göre eğer bir ifadenin doğru olduğunu göstermek istiyorsan, kesinlikle ve kesinlikle direk olarak, doğruluğu onanmış başka belitlerle (aksiyomlarla) türetmelisin. Tabi ki türetmek için işlemler mantık çerçevesinde olmalıdır.
II. Olmayana Ergi İle İspat Yöntemi:
Olmayana-ergi, mantığın iki temel ilkesine dayanır: Çelişmezlik ilkesi (ki, “bir önerme hem yanlış, hem doğru olamaz” der.) Diyelim ki, ispatı istenen P gibi bir önerme var elimizde. Olmayana-ergi yöntemine başvuruyorsak, P’yi yanlış sayar, bu sayıtlının bir çelişki doğurup doğurmadığına bakarız. Yanlış saydığımız P, gerçekte doğru ise, daha önce doğruluğu bilinen ya da varsayılan Q gibi bir başka önermeyi yanlış saymamız gerekecektir. Ne var ki, mantığın çelişmezlik ilkesi gereği Q’yu hem doğru, hem de yanlış sayamayız. Q’yu baştan doğru kabul ettiğimize göre, yadsınması (Q-değil) yanlış demektir. Doğru bir önerme yanlış bir önerme içermeyeceğine göre, P’yi yanlış sayamayız; öyleyse P doğrudur.Bir koşullu önermelerde, (p ⇒ q) ≡ (q' ⇒ p') dür.p ⇒ q teoreminin ispatlanması yerine q' ⇒ p' teoremi ispatlanırsa p ⇒ q teoremiispat edilmiş olur. Bu yönteme, olmayana ergi ile ispat yöntemi denir.O halde, bir teoremi olmayana ergi ile ispat olumsuzunda hareket edilerek, hipotezinolumsuzunun elde edilmesidir.
III. Deneme Yöntemi ile İspat
Verilen önermedeki değişkene farklı değerler verilir. Bu değerler, ayrı ayrı yerlerineyazılarak önermenin doğruluğu kontrol edilir. Buna deneme yöntemi ile ispat denir.
IV. Aksine Örnek Verme Yöntemi ile İspat
Verilen bir önermenin doğru olduğu ispatlanamıyorsa, aksine örnek verilerek, veyaçelişki olduğu gösterilerek, yanlış olduğu ispatlanır.Bu yöntem genellikle p ⇒ q şeklindeki bir önermenin, yanlış olduğunu ispatlamakiçin kullanılır.O halde, verilen önermenin doğru olmadığını gösteren en az bir değer varsa, buönermenin yanlış olduğu ispatlanmış olur.
V. Tümevarım Yöntemi ile İspat
Tümevarım yöntemi, özel kurallardan hareket ederek genel kurala ulaşma yöntemidir.O halde, bu yöntemde yapılan ispat, parçalardan giderek bütünün doğruluğunu bulmaktır.
VI. Tümdengelim Yöntemi ile İspat
Tümdengelim, genel kuraldan özel kuralların çıkarılması yöntemidir. Bütünden giderek istenilenin doğruluğunu ispatlama yöntemidir.
Matematik derslerinde kullandığımız ispat yöntemleri şunlardır:
I. Doğrudan ispat:
Bu yöntem temel ispat yöntemleri arasında en basiti olarak görülür. Yönteme göre eğer bir ifadenin doğru olduğunu göstermek istiyorsan, kesinlikle ve kesinlikle direk olarak, doğruluğu onanmış başka belitlerle (aksiyomlarla) türetmelisin. Tabi ki türetmek için işlemler mantık çerçevesinde olmalıdır.
II. Olmayana Ergi İle İspat Yöntemi:
Olmayana-ergi, mantığın iki temel ilkesine dayanır: Çelişmezlik ilkesi (ki, “bir önerme hem yanlış, hem doğru olamaz” der.) Diyelim ki, ispatı istenen P gibi bir önerme var elimizde. Olmayana-ergi yöntemine başvuruyorsak, P’yi yanlış sayar, bu sayıtlının bir çelişki doğurup doğurmadığına bakarız. Yanlış saydığımız P, gerçekte doğru ise, daha önce doğruluğu bilinen ya da varsayılan Q gibi bir başka önermeyi yanlış saymamız gerekecektir. Ne var ki, mantığın çelişmezlik ilkesi gereği Q’yu hem doğru, hem de yanlış sayamayız. Q’yu baştan doğru kabul ettiğimize göre, yadsınması (Q-değil) yanlış demektir. Doğru bir önerme yanlış bir önerme içermeyeceğine göre, P’yi yanlış sayamayız; öyleyse P doğrudur.Bir koşullu önermelerde, (p ⇒ q) ≡ (q' ⇒ p') dür.p ⇒ q teoreminin ispatlanması yerine q' ⇒ p' teoremi ispatlanırsa p ⇒ q teoremiispat edilmiş olur. Bu yönteme, olmayana ergi ile ispat yöntemi denir.O halde, bir teoremi olmayana ergi ile ispat olumsuzunda hareket edilerek, hipotezinolumsuzunun elde edilmesidir.
III. Deneme Yöntemi ile İspat
Verilen önermedeki değişkene farklı değerler verilir. Bu değerler, ayrı ayrı yerlerineyazılarak önermenin doğruluğu kontrol edilir. Buna deneme yöntemi ile ispat denir.
IV. Aksine Örnek Verme Yöntemi ile İspat
Verilen bir önermenin doğru olduğu ispatlanamıyorsa, aksine örnek verilerek, veyaçelişki olduğu gösterilerek, yanlış olduğu ispatlanır.Bu yöntem genellikle p ⇒ q şeklindeki bir önermenin, yanlış olduğunu ispatlamakiçin kullanılır.O halde, verilen önermenin doğru olmadığını gösteren en az bir değer varsa, buönermenin yanlış olduğu ispatlanmış olur.
V. Tümevarım Yöntemi ile İspat
Tümevarım yöntemi, özel kurallardan hareket ederek genel kurala ulaşma yöntemidir.O halde, bu yöntemde yapılan ispat, parçalardan giderek bütünün doğruluğunu bulmaktır.
VI. Tümdengelim Yöntemi ile İspat
Tümdengelim, genel kuraldan özel kuralların çıkarılması yöntemidir. Bütünden giderek istenilenin doğruluğunu ispatlama yöntemidir.
Diğer çözümlü sorular alttadır.