∞
∑
k=0
(
a
b
)k
(|a|<|b|) olmak üzere bu serinin değerini bulalım.
1+(
a
b
)+(
a
b
)²+...
=
1
1-
a
b
=
1
b-a
b
=
b
b-a
elde edilir.
Örnek Yapalım,
ÖRNEK 1:
∞
∑
k=0
(
3
7
)k
Eğer ifade 1 de başlıyorsa,
b
b-a
formülünden,
=
7
7-3
=
7
4
elde ederiz.
ÖRNEK 2:
∞
∑
k=1
(
1
9
)k-1
ifadesine baktığımızda k=1 yazdığımızda ilk terim 1 oluyor yani bu formülü uygulayabiliriz.
9
9-1
=
9
8
bulunur.
ÖRNEK 3:
∞
∑
k=1
(
2
5
)=?
Bu ifadede k=1 yazdığımızda ifade 1 ile başlamıyor o halde ifadeyi düzenleyelim.
(
2
5
)²+(
2
5
)³+...
=(
2
5
)².[(1+(
2
5
)+(
2
5
)²+..]
şeklindedir. Parantez içindeki ifade için yukarıda yazdığım özelliği uygulayabiliriz.
=(
2
5
)².
5
5-3
=
4
12
Buradan şu sonucu çıkarırız. Eğer ifade 1 ile başlıyorsa, b/(b-a) formülünü direk yazabiliriz. Eğer ifade 1 dışında başka bir ifade ile başlıyorsa,
a₁.
b
(b-a)
ÖRNEK:
∞
∑
k=1
(
2
3
)k
ifadesinde 1. terim 2/3 olduğu için cevabımız,
2
3
.
3
3-2
=2 olacaktır.