1. #1

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer

    Sponsorlu Bağlantılar

    Çıkmış birkaç eşitsizlik sorusu

    1.(IMO1960-S2)

    eşitsizliğinin sağlandığı tüm x∈R değerlerini bulunuz.


    2.(IMO1961-S2)
    Kenar uzunlukları a,b,c ve alanı S olan her üçgende
    a2+b2+c2≥4S√3
    eşitsizliğinin sağlandığını gösteriniz.
    Hangi durumlarda eşitlik olur?


    3.(IMO1964-S2)
    a,b, ve c bir üçgenin kenar uzunluklarıyken
    a2(b+c-a)+b2(a+c-b)+c2(a+b-c)≤3abc
    olduğunu gösteriniz.


    4.(IMO1984-S1)
    x,y,z negatif olmayan reel sayılar ve x+y+z=1 ise
    0 ≤ xy+yz+zx-2xyz ≤7/27
    olduğunu gösteriniz.


    5.(IMO1995-S2)
    a,b,c ∈ R+ ve abc=1 ise

    olduğunu gösteriniz.



    uğraşmak isteyenleri düşünerek çözümlerini ileri bir tarihe bırakalım.

  2. #2

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Matematik Öğretmeni

    Sponsorlu Bağlantılar

    1.soru cevap küme ?

  3. #3

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Matematik Öğretmeni

    Sponsorlu Bağlantılar

    cevap boş kümemi yazacaktım sry

  4. #4

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Matematik Öğretmeni
    1.soru için x pozitif reel sayı ve x küçüktür 45 ∕8

  5. #5

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    x<45/8 kısmı doğru ama sol tarafının da karekökün içinin negatif olamaması ve paydanın 0 olamaması gibi nedenlerle
    -1/2≤x ve x≠0 şeklinde olması lazım

  6. #6

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Matematik Öğretmeni
    4. SORU: x,y,z negatif olmayan reel sayılar ve x+y+z=1 ise 0 ≤ xy+yz+zx-2xyz ≤7/27 olduğunu gösteriniz.
    xy+yz+zx-2xyz=A diyelim.
    önce 0 ≤A olduğunu sonrada A ≤7/27 olduğunu göstereceğim.
    x+y+z=1 olduğundan bu üç sayıdan en az biri 1/2 den küçük olmalıdır üçü birden 1/2 ye eşit veya büyük olamaz.
    xy+yz+zx-2xyz=x(y+z)+(1-2x)yz sağ tarafın 0 dan büyük olduğu kesinlikle gözüküyor.o halde 0 ≤A tamam.

    x+y+z=1 ise y+z=1-x olduğunu ve aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliğinide kullanarak A=xy+yz+zx-2xyz=x(y+z)+(1-2x)yz
    ≤x(1-x)+(1-2x)((y+z) ∕2)2
    =x(1-x)+(1-2x)((1-x) ∕2)2
    = 1/4(1+ x²-2 x³) .................(1)
    parantez içindeki x²-2 x³ ifadesine tekrar AGO eşitsizliği kullandım
    x²-2 x³=x.x(1-2x)
    ≤((x+x+1-2x)/3)3=1/27

    bu durumu .............(1) nolu eşitlikte yerine yazarsak
    A ≤1/4(1+1/27)=7/27
    A ≤7/27 olduğunu gösterdik

    NOT: her zaman geometrik ortalama ≤ aritmetik ortalama yazılabilir

    örneğin a.b ≤((a+b)/2)2 yada a.b.c ≤((a+b+c)/3)3

  7. #7

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    hocam elinize sağlık güzel bir çözüm olmuş.

  8. #8

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    5)
    Verilen toplama S diyelim Cauchy'den
    S.(a(b+c)+b(a+c)+c(a+b))≥(1/a+1/b+1/c)²
    abc=1 old. 1/a+1/b+1/c=ab+ac+bc
    a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)=2(ab+ac+bc)
    yani S≥(ab+ac+bc)/2
    AO-GO eşitsizliğinden ab+ac+bc≥3.∛a²b²c²=3
    yani S≥3/2

  9. #9

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    3)
    a,b,c nin üçgenin kenarları olmasına gerek yok.
    parantezleri açınca a³+b³+c³+3abc≥a²b+a²c+b²a+b²c+c²a+c²b
    oluyor bu da zaten schur eşitsizliğinden geliyor.
    ∑a(a-b)(a-c)≥0

  10. #10

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    2)
    Bu eşitsizlik Weitzenböck eşitsizliği.
    Heron formülünden
    S=(1/4)√(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)=(1/4)√2(a²b²+a²c²+b²c²)-(a⁴+b⁴+c⁴)
    a²+b²+c²≥4S√3
    <=>(a²+b²+c²)².(1/3)≥(4S)²=2(a²b²+a²c²+b²c²)-(a⁴+b⁴+c⁴)
    <=>(1/3)[(a⁴+b⁴+c⁴)+2a²b²+2a²c²+2b²c²]≥2(a²b²+a²c²+b²c²)-(a⁴+b⁴+c⁴)
    <=>a⁴+b⁴+c⁴≥a²b²+a²c²+b²c²
    <=>(a²-b²)²+(a²-c²)²+(b²-c²)²≥0

    Eşitliğin sağlanması için a=b=c olmalı yani üçgen eşkenar olmalı.

Diğer çözümlü sorular için alttaki linkleri ziyaret ediniz


 
1 2

  • Bu yazıyı beğenerek
    destek
    verebilirsiniz

    Foruma üye olmana gerek yok! Facebook hesabınla yorumlarını bekliyoruz!
  • Benzer konular

    1. birkaç denem sorusu
      angel2495, bu konuyu "Ygs & Lys Matematik" forumunda açtı.
      : 1
      : 10 Haz 2013, 16:41
    2. Birkaç Dizi Sorusu
      robinho32, bu konuyu "Özel matematik soruları" forumunda açtı.
      : 1
      : 25 Kas 2012, 10:43
    3. ygs çıkmış türkçe sorusu
      nightmare, bu konuyu "Lise Dersleri" forumunda açtı.
      : 13
      : 30 Ağu 2012, 18:20
    4. birkaç tarih sorusu
      duncanduncan, bu konuyu "Lise Dersleri" forumunda açtı.
      : 4
      : 24 Mar 2012, 14:53
    5. birkaç mat sorusu
      pamuk77, bu konuyu "Özel matematik soruları" forumunda açtı.
      : 4
      : 27 Eki 2011, 02:35
    Forum Kullanım ve Gizlilik Kuralları