1. #1

    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer

    Çıkmış birkaç eşitsizlik sorusu

    1.(IMO1960-S2)

    eşitsizliğinin sağlandığı tüm x∈R değerlerini bulunuz.


    2.(IMO1961-S2)
    Kenar uzunlukları a,b,c ve alanı S olan her üçgende
    a2+b2+c2≥4S√3
    eşitsizliğinin sağlandığını gösteriniz.
    Hangi durumlarda eşitlik olur?


    3.(IMO1964-S2)
    a,b, ve c bir üçgenin kenar uzunluklarıyken
    a2(b+c-a)+b2(a+c-b)+c2(a+b-c)≤3abc
    olduğunu gösteriniz.


    4.(IMO1984-S1)
    x,y,z negatif olmayan reel sayılar ve x+y+z=1 ise
    0 ≤ xy+yz+zx-2xyz ≤7/27
    olduğunu gösteriniz.


    5.(IMO1995-S2)
    a,b,c ∈ R+ ve abc=1 ise

    olduğunu gösteriniz.



    uğraşmak isteyenleri düşünerek çözümlerini ileri bir tarihe bırakalım.

  2. #2

    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Matematik Öğretmeni
    1.soru cevap küme ?

  3. #3

    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Matematik Öğretmeni
    cevap boş kümemi yazacaktım sry

  4. #4

    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Matematik Öğretmeni
    1.soru için x pozitif reel sayı ve x küçüktür 45 ∕8

  5. #5

    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    x<45/8 kısmı doğru ama sol tarafının da karekökün içinin negatif olamaması ve paydanın 0 olamaması gibi nedenlerle
    -1/2≤x ve x≠0 şeklinde olması lazım

  6. #6

    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Matematik Öğretmeni
    4. SORU: x,y,z negatif olmayan reel sayılar ve x+y+z=1 ise 0 ≤ xy+yz+zx-2xyz ≤7/27 olduğunu gösteriniz.
    xy+yz+zx-2xyz=A diyelim.
    önce 0 ≤A olduğunu sonrada A ≤7/27 olduğunu göstereceğim.
    x+y+z=1 olduğundan bu üç sayıdan en az biri 1/2 den küçük olmalıdır üçü birden 1/2 ye eşit veya büyük olamaz.
    xy+yz+zx-2xyz=x(y+z)+(1-2x)yz sağ tarafın 0 dan büyük olduğu kesinlikle gözüküyor.o halde 0 ≤A tamam.

    x+y+z=1 ise y+z=1-x olduğunu ve aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliğinide kullanarak A=xy+yz+zx-2xyz=x(y+z)+(1-2x)yz
    ≤x(1-x)+(1-2x)((y+z) ∕2)2
    =x(1-x)+(1-2x)((1-x) ∕2)2
    = 1/4(1+ x²-2 x³) .................(1)
    parantez içindeki x²-2 x³ ifadesine tekrar AGO eşitsizliği kullandım
    x²-2 x³=x.x(1-2x)
    ≤((x+x+1-2x)/3)3=1/27

    bu durumu .............(1) nolu eşitlikte yerine yazarsak
    A ≤1/4(1+1/27)=7/27
    A ≤7/27 olduğunu gösterdik

    NOT: her zaman geometrik ortalama ≤ aritmetik ortalama yazılabilir

    örneğin a.b ≤((a+b)/2)2 yada a.b.c ≤((a+b+c)/3)3

  7. #7

    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    hocam elinize sağlık güzel bir çözüm olmuş.

  8. #8

    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    5)
    Verilen toplama S diyelim Cauchy'den
    S.(a(b+c)+b(a+c)+c(a+b))≥(1/a+1/b+1/c)²
    abc=1 old. 1/a+1/b+1/c=ab+ac+bc
    a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)=2(ab+ac+bc)
    yani S≥(ab+ac+bc)/2
    AO-GO eşitsizliğinden ab+ac+bc≥3.∛a²b²c²=3
    yani S≥3/2

  9. #9

    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    3)
    a,b,c nin üçgenin kenarları olmasına gerek yok.
    parantezleri açınca a³+b³+c³+3abc≥a²b+a²c+b²a+b²c+c²a+c²b
    oluyor bu da zaten schur eşitsizliğinden geliyor.
    ∑a(a-b)(a-c)≥0

  10. #10

    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    2)
    Bu eşitsizlik Weitzenböck eşitsizliği.
    Heron formülünden
    S=(1/4)√(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)=(1/4)√2(a²b²+a²c²+b²c²)-(a⁴+b⁴+c⁴)
    a²+b²+c²≥4S√3
    <=>(a²+b²+c²)².(1/3)≥(4S)²=2(a²b²+a²c²+b²c²)-(a⁴+b⁴+c⁴)
    <=>(1/3)[(a⁴+b⁴+c⁴)+2a²b²+2a²c²+2b²c²]≥2(a²b²+a²c²+b²c²)-(a⁴+b⁴+c⁴)
    <=>a⁴+b⁴+c⁴≥a²b²+a²c²+b²c²
    <=>(a²-b²)²+(a²-c²)²+(b²-c²)²≥0

    Eşitliğin sağlanması için a=b=c olmalı yani üçgen eşkenar olmalı.

Diğer çözümlü sorular için alttaki linkleri ziyaret ediniz


 
2 sayfadan 1.si 12 SonuncuSonuncu

  1. Bu yazıyı beğenerek
    destek
    verebilirsiniz

    Foruma üye olmana gerek yok! Facebook hesabınla yorumlarını bekliyoruz!

Benzer konular

  1. birkaç denem sorusu
    angel2495 bu konuyu Lise Matematik forumunda açtı
    Cevap: 1
    Son mesaj : 10 Haz 2013, 18:41
  2. Birkaç Dizi Sorusu
    robinho32 bu konuyu Özel matematik soruları forumunda açtı
    Cevap: 1
    Son mesaj : 25 Kas 2012, 12:43
  3. ygs çıkmış türkçe sorusu
    nightmare bu konuyu Lise Dersleri forumunda açtı
    Cevap: 13
    Son mesaj : 30 Ağu 2012, 20:20
  4. birkaç mat sorusu
    pamuk77 bu konuyu Özel matematik soruları forumunda açtı
    Cevap: 4
    Son mesaj : 27 Eki 2011, 04:35
  5. [Ziyaretçi] Kesirli Denklem Sorusu (üniversitede cıkmış olan bi soru)
    ismail çetin bu konuyu 9. sınıf matematik soruları forumunda açtı
    Cevap: 3
    Son mesaj : 16 Şub 2011, 00:37
Forum Kullanım ve Gizlilik Kuralları