[Attalos]

1) 10! sayısı 2 tabanında yazıldığında kaç basamaklı bir sayı elde edilir? (22)
2) On tabanında 7⁷ sayısı 2 tabanında yazıldığında kaç basamaklı bir sayı elde edilir? (21)
3) 10 tabanında (2002)² sayısı 7 tabanında yazıldığında kaç basamaklı sayı elde edilir? (8)
4) (ab2)₄=(ba3)₅ olduğuna göre (ab)₅+(ba)₄ toplamının 10 tabanındaki değeri nedir? (17)


----------

İlk soru için 10!=2⁸.7.25.81 = 2⁸.(2²+2+1).(2⁴+2³+1).(2⁶+2⁴+1) = 2²⁰... olduğundan 21 basamaklı demiştim ancak 22 diyor. Diğer sorular içinde birkaç çözüm gözüküyor ama pek tatmin edici olmadı, çözümlerinizi bekliyorum

[dcey]

1) 10! sayısı 2 tabanında yazıldığında kaç basamaklı bir sayı elde edilir? (22)

Bence doğru düşünmüşsün fakat toplam şeklinde yazarsan bu sayı 1 basamak artabilir.Çünkü dikkat et tüm sayılara 2⁸.(2²+2+1).(2⁴+2³+1).(2⁶+2+1) bu ifadelerde 2.ifadedeki 2²'yi almayız 2'yi alırız diğerlerinde de aynı şekilde toplarsak o sayıdan büyük çıkabilir.O yüzden en kesin yöntem olan çıkarmayı kullanmak daha mantıklı
2⁸.7.25.81
2⁸.(2³-1)(2⁵-7)(2⁷-47)
2²³-x çıkacaktır.
Burada gördüğün gibi eklenecek sayılarla birlikte sayı ne toplam olarak ne çıkarma olarak 2 tabanındaki 111111... 10 tabanındaki 999999.. gibi bir sayı çıkmayacağından ve 1 sayı kesin çıkacağından 22 basamaklı olacaktır bunun nedenini şöyle açıklarsak 10000000-86524 gibi 10 tabanındaki değer gördüğün gibi 1 basamak düşüyor.Sayıda 2 basamak azalma olması için sayının değerini en büyük değere yakın olması gerekmektedir.2²⁰-1000 gibi bir değer çıkması lazım bunun nedeni açık 10 tabanındaki 10000'den 9001 çıkarsa 3 basamağa düşer bunlar diğer tabanlarda da aynıdır
2) On tabanında 7⁷sayısı 2 tabanında yazıldığında kaç basamaklı bir sayı elde edilir? (21)

7=2³-1
(2³-1)⁷

2²¹-......
diğer sayılar 2 tabanındaki 111111.. gibi 10 tabanındaki 999999.. gibi ifadeden küçük olduğundan 1 basamak düşer ve 20 basamak kalır

3) 10 tabanında (2002)² sayısı 7 tabanında yazıldığında kaç basamaklı sayı elde edilir? (8)

2002=7⁴-399
399=7³+56
56=7²+7 yani ifademiz

7⁴-7³-7²-7 olur.7 tabanında yazarsak
(10000-1000-100-10)(10000-1000-100-10) olacaktır
100000000-x gibi bir değer alacağından 9 basamaktan 1 sayı kesin çıkarsa bu 8 basamaklı olacaktır.3 soruda aynı mantıktı, bence bu sorularda çıkarmayı bulduktan sonra üstlü ifadede en büyük üstü bul diğer sayılara bak çok büyük değilse 1 basamak düşür


4) (ab2)₄=(ba3)₅ olduğuna göre (ab)₅+(ba)₄ toplamının 10 tabanındaki değeri nedir? (17)

2+4b+16a=3+5a+25b

21b-11a=-1 a ve b 5 sayısından küçük olduğundan bu denklemi sağlayan tek değer olan
b=1 a=2'ye bakacağız diğerleri 5 sayısına kadar sağlamaz çünkü 11a=11 22 33 44 55 diye giderken
21b=21 42 63 oluyor ki zaten ya b=1 b=2 olmak zorundadır a'ya göre tek sağlayan b=1 a=2'dir

(21)₅+(12)₄
(1+10)+(2+4)
11+6=17

[kingwalter]

1)10!=2⁸.3⁴.5².7
=2⁸.(2⁶+2⁴+1).(2⁴+2³+1).(2²+2+1)
=2²¹+2²⁰+2¹⁸+2¹⁷+2¹⁶+2¹⁴+2¹²+2¹¹+2¹⁰+2⁹+2⁸
22 basamaklı olur.

[gereksizyorumcu]

1. soruda
2^8.7.25.81 dedikten sonra 25.81~2^11 denirse daha kolay sunuca ulaşılabilir.

2. soruda
7^7=49.49.49.7~3.16.3.16.3.16.7~3.(2^12).9.7 ~3.2^12.2^6 yani sayının 20 basamaklı olması gerekiyor.

[Attalos]

Çok teşekkürler