karışık matematik sorularım

1) 3≤x≤8 olmak üzere,
x≡15 (mod x) denkliğini sağlayan x değerleri kaç tanedir?
a)1 b)2 c)3 d)4 e)5

2) 97⁹⁹≡x (mod 19) olduğuna göre x aşağıdakilerden hangisi olabilir?
a)14 b)15 c)16 d)17 e)18

3)(44444)^x≡8 (mod9) olduğuna göre x aşağıdakilerden hangisi olabilir?
a)7 b)8 c)9 d)10 e)11
4) Farklı 3 sarı ve 3 kırmızı bilye yan yana dizilecektir. Herhangi 2 sarı bilye yan yana gelmemek koşuluyla kaç farklı şekilde sıralanabilir?
a)12 b)24 c)36 d)72 e)144
5) Bir miktar alkol-su karışımının%20 si dökülüyor ve dökülenin yerine aynı miktarda saf alkol eklenince yeni karışımın alkol oranı %48 oluyor. Buna göre ilk karışımın alkol oranı yüzde kaçtır?
a)28 b) 30 c)32 d) 35 e)38
5. soruyu birkaç defa çözdüm hep 28 buluyorum ama cevap 35 olarak verilmiş

C-1)

3≤x≤8 olmak üzere,
x≡15 (mod x)

x-15≡0(modx)

x-15 sayısını x'i tam bölmelidir.

(x-15)/x= 1-(15/x) burada x=1,3,5,15 olabilir ama sorudaki koşulu sağlaması için 3 ve 5 değerini alabiliriz 2 adet x değeri vardır.

2. sorunun cevabı 18 mi ?

C-3)

44444≡2(mod9)

2^x≡8 ise

2¹≡2
2²≡4
2³≡8
2⁵≡5
2⁶≡1

x=6k+3

2^6k+3≡8 olur.

k=1 olursa x=9 olur.

C-4)

K -K-K bilyelerin arasına 2 bilyeyi +1 de sol ve sağ uca olmak üzere 3! şeklinde sıralanır.
Aynı zamanda kırmızılarında yer değiştirme durumu 3! dir. Kırmızıların ve Sarıların yer değiştirme durumu da vardır bu da 2! dir. (yani S-S-S de olabilir)

3!.3!.2!=72 bulunur.

C-5)

35 doğru.

Elimizde alkol oranı %x lik bir karışım olsun.Hacmine de 5V diyelim. Bunun %20 si dökülürse(V hacimde) geriye 4V hacimde karışım kalır.

x.5V-x.V+V.100=5V.48

4V.x+100V=240V

4Vx=140V

x=35 bulunur.

Cevap 2:
97⁹⁹≡x (mod 19) olduğuna göre x aşağıdakilerden hangisi olabilir?
a)14 b)15 c)16 d)17 e)18
97 çok büyük bir sayı olduğu için ve mod 19'da çalıştığımız için 97'nin dengini kullanabiliriz:
97≡2(mod 19)
Daha sonra 2^x≡1(mod 19) olacak şekilde bir x sayısı arıyoruz.Belki kısa bir yolu vardır, ama ben bildiğim yolla yapayım(Aşağıdaki değerler mod 19'a aittir):
2¹≡2 2²≡4 2³≡8 2⁴≡16
2⁵≡13 2⁶≡7 2⁷≡14 2⁸≡9
2⁹≡18 2¹⁰≡17 2¹¹≡15 2¹²≡11
2¹³≡3 2¹⁴≡6 2¹⁵≡12 2¹⁶≡5
2¹⁷≡10 2¹⁸≡1
Başka bir çözüm yoksa bir ipucu vereyim; yukarıdaki değerleri tek tek hesaplamak yerine bir önceki sonucu taban ile çarpıp mod 19'da dengini bulursak rahatlıkla ulaşabiliriz. Örneğin 2⁴≡16, 16'yı tabanla(2) çarpıyoruz:32 32≡13(mod 19) yazıyoruz.
18 değerde bir 1'e ulaşabiliyoruz. O halde (2¹⁸)^a.2^b şeklinde yazarsak (2¹⁸)^a kısmı 1 olacağı için cevap 2^b kısmına eşit olur. b'yi bulmak için 99≡b(mod 18) işlemini yapıyoruz. b=9 çıktı. O halde cevap 2⁹≡18(mod 19) diyebiliriz.
Daha kısa bir çözümü varsa ben de merak ettim.
İyi günler.

2. soruyu birazcık kısaltalım

97≡2(mod19)

Öncelikle bir özelliği gösterelim.

3,5 ve 7 asal sayılarını kullanalım.

2²≡1(mod3)

2⁴≡1(mod5)

2⁶≡1(mod7)


Dolayısıyla şu özelliği çıkarabiliriz buradan.

k asal sayı olmak üzere

2^k-1≡1(modk)

dolayısı ile bize sorulan soruda mod19 verilmiş o halde 2¹⁸ de 1 kalanını buluyoruz.

Buradan sonraki yukarıdaki arkadaşımızın işleminin son kısmıyla aynı.

99 sayısı mod19 da 9'a denktir.

2⁴≡16
2⁵≡32

dolayısı ile 2⁹≡18 bulunur.

Bunu daha önce görmüştüm, şimdi @duygu95 gösterince aklıma geldi.
Merak edenler için bu özellik Fermat'ın Küçük Teoremi'ymiş. Buradan bilgi alabilirsiniz.
İyi günler.

4) Farklı 3 sarı ve 3 kırmızı bilye yan yana dizilecektir. Herhangi 2 sarı bilye yan yana gelmemek koşuluyla kaç farklı şekilde sıralanabilir?

SKSKSK
KSKSKS

Ben şu şekilde düşündüm.1.Durumda ilk yere 3 sarı , 2.yere 2 sarı 3.yere 1 sarı toplamda 3.2.1=6 farklı sıralanış ,
İlk K yerine 3 , 2.yere 2 , 3.yere 1 = 3.2.1=6
Bir de göründüğü gibi 2 farklı durum var 6.6.2=72

YA DA
C(3,1).C(2,1).C(1,1).C(3,1).C(2,1).C(1,1).2!
6.6.2!=72 OLUR

Çözümlü Modüler Aritmetik Soruları Modüler Aritmetikle İlgili Sorular
Tüm Etiketler