1)
k.(k-1)=k2-k
n+1 için;
f(n+1)=((n+1).(n+2).(2n+3)/6)-((n+1).(n+2)/2)
f(n+1)=(n+1).(n+2).((2n+3-3)/6) f(n+1)=n.(n+1).(n+2)/3
n-1 için;
f(n-1)=((n-1).n.(2n-1)/6)-((n-1).n/2)
f(n-1)=n.(n-1).(2n-1-3)/6 f(n-1)=n.(n-1).(n-2)/3
f(n+1)-f(n-1)=(n.(n+1).(n+2)/3)-(n.(n-1).(n-2)/3)
f(n+1)-f(n-1)=(n/3).((n+1).(n+2)-(n-1).(n-2))
f(n+1)-f(n-1)=(n/3).(n2+3n+2-n2+3n-2)
f(n+1)-f(n-1)=(n/3).6n=2n2
2n2=72 ise; n=6(Aslında -6 da olabilir. Ama soruda doğal sayı olma şartı verilmiş olmalı.)
2)
Toplam sembolünde her iki sınırımıza da 2 eklersek k ifadeli denklemimizde de her k'dan 2 çıkarırız. Yani;
(k-2)3+6(k-2)2+12(k-2)+8
=k3-6k2+12k-8+6k2-24k+24+12k-24+8
=k3
Yeni sınırlarımız 1'e 13 olur.
(13.14/2)2=(13.7)2
=912
4)
f(x).f(x+1)....f(y-1).f(y)=40
f(x+1).f(x+2)....f(y-1)=8 ise iki denklemi birbirine bölersek; f(x).f(y)=5
5)
1-(2/(k-2))=(k-4)/(k-2) şeklinde ifademizi düzenlersek;
(1/3).(2/4).(3/5)...((n-4)/(n-2))=1/(8n-16) şeklinde eşitlik elde ederiz. Eşitliğin sol tarafında 2 aralıklı payda ve payların sadeleştiğini görüyoruz. Gerekli sadeleştirmeler yapılırsa geriye;
2/[(n-3).(n-2)]=1/(8n-16) eşitliği kalır.
n2-5n+6=16n-32
n2-21n+38=0
(n-19).(n-2)=0
n=19,2
n 5'ten büyük olmak zorunda olduğu için; n=19