Toplam Çarpım Sorularım

Forum kodlarının çoğunda hata var kusura bakmayın mecbur resimden yaptım :) Cevaplar için teşekkürler şimdiden..

https://img17.imageshack.us/img17/1332/adszabzw.png

1-) 6
2-) 91²
3-) 369
4-) 5
5-) 19

1)
k.(k-1)=k²-k
n+1 için;
f(n+1)=((n+1).(n+2).(2n+3)/6)-((n+1).(n+2)/2)
f(n+1)=(n+1).(n+2).((2n+3-3)/6)
f(n+1)=n.(n+1).(n+2)/3
n-1 için;
f(n-1)=((n-1).n.(2n-1)/6)-((n-1).n/2)
f(n-1)=n.(n-1).(2n-1-3)/6
f(n-1)=n.(n-1).(n-2)/3
f(n+1)-f(n-1)=(n.(n+1).(n+2)/3)-(n.(n-1).(n-2)/3)
f(n+1)-f(n-1)=(n/3).((n+1).(n+2)-(n-1).(n-2))
f(n+1)-f(n-1)=(n/3).(n²+3n+2-n²+3n-2)
f(n+1)-f(n-1)=(n/3).6n=2n²
2n²=72 ise;
n=6(Aslında -6 da olabilir. Ama soruda doğal sayı olma şartı verilmiş olmalı.)

2)
Toplam sembolünde her iki sınırımıza da 2 eklersek k ifadeli denklemimizde de her k'dan 2 çıkarırız. Yani;
(k-2)³+6(k-2)²+12(k-2)+8
=k³-6k²+12k-8+6k²-24k+24+12k-24+8
=k³
Yeni sınırlarımız 1'e 13 olur.
(13.14/2)²=(13.7)²
=91²

3)
f(1)+f(2)+...+f(x)=x⁴ ise;
x=4 için;
f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=256
x=5 için;
f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=625
f(5)=625-256
f(5)=369

4)
f(x).f(x+1)....f(y-1).f(y)=40
f(x+1).f(x+2)....f(y-1)=8 ise iki denklemi birbirine bölersek;
f(x).f(y)=5

5)
1-(2/(k-2))=(k-4)/(k-2) şeklinde ifademizi düzenlersek;
(1/3).(2/4).(3/5)...((n-4)/(n-2))=1/(8n-16) şeklinde eşitlik elde ederiz. Eşitliğin sol tarafında 2 aralıklı payda ve payların sadeleştiğini görüyoruz. Gerekli sadeleştirmeler yapılırsa geriye;
2/[(n-3).(n-2)]=1/(8n-16) eşitliği kalır.
n²-5n+6=16n-32
n²-21n+38=0
(n-19).(n-2)=0
n=19,2
n 5'ten büyük olmak zorunda olduğu için;
n=19

1. Soru hariç diğer sorular, güzel sorularmış. Fakat 1. soru uzunluğu dolayısıyla güzel bir soru değil bence kısa bir çözüm aradım ama bulamadım.

Bu arada, Çözümler güzel, Eline Sağlık "frk".

duygu95'den alıntı:

1. Soru hariç diğer sorular, güzel sorularmış. Fakat 1. soru uzunluğu dolayısıyla güzel bir soru değil bence kısa bir çözüm aradım ama bulamadım.

Çok farkı var mı bilmiyorum ama ben de böyle denedim:

f(n+1), n yerine n+1 yazmaksa, k=1'den (n+1)'e k.(k-1)
f(n-1), n yerine n-1 yazmaksa, k=1'den (n-1)'e k.(k-1)

f(n+1)=0.1+1.2+2.3+..............(n-2).(n-1)+(n-1).(n)+(n).(n+1)
f(n-1)=0.1+1.2+2.3+...............(n-2).(n-1)
taraf tarafa çıkarınca: n.(n-1+n+1)=n.(2n)=72, n=6

Teşekkür ederim cevaplar için :)