svsmumcu26 19:26 15 Eki 2013 #1 Örnek.
7 yolcu 3 vagondan oluşan boş bir trene rastgele birer vagon seçerek biniyorlar. Birinci vagonda tam olarak iki yolcu bulunması olasılığı nedir?
Çözüm.
Her yolcu için 3 seçenek olduğundan toplamda 37 durum vardır.
İstediğimiz durumlar içinse ilk önce 7 yolcudan 2 tane seçip en ön vagona koyalım diğerleri içinse 2 seçenek olacaktır.
C(7,2).2⁵
21.2⁵/37 = 224/729
___________________________________________
Örnek.
Rastgele seçilen altı basamaklı bir doğal sayının tam olarak iki basamağında 1 bulunması olasılığı nedir?
Çözüm.
İlk öncelikle ilk basamakta 1 rakamının başta bulunma durumu göze alalım.
Başta 1 rakamı varsa diğer 1 rakamı için 5 yerden birini seçmek gerekecektir. Daha sonra elimizde (0,2,3,4,5,6,7,8,9) olmak üzere 9 rakam kalacaktır ve 4 yer kalacaktır. İlk boşluğa 9 diğerine 9 diğerine 9 diğeri 9 rakam gelebilir.
Bu durum için 9.9.9.9.C(5,1) kadar durum olacaktır.
Başta 1 rakamı yoksa,
Bu durumda 5 yerden 2 tanesini seçer 1 rakamlarını yerleştiririz.Başa (1 ve 0 dışında) toplamda 8 rakam gelebilir.
Diğer 3 yere için (1 dışında) 9 rakam gelebilir. 8.9³.C(5,2)
Tüm durumlar ise,başa 0 gelemez o halde 9.10³ kadar.
İlk iki durumu toplayıp tüm durumların sayısına oranlarsanız sonuca ulaşmış oluruz.
___________________________________________
Örnek.
3 kırmızı , 3 mavi , 3 yeşil top rastgele sıralandığında en az iki kırmızı topun yanyana gelmesi olasılığı nedir?
Çözüm.
Bu tür sorularda iki kırmızı topun yan yana gelmemesi olasığını bulmamız daha kısa olacaktır.
İlk öncelikle Mavi ve Yeşil topları yerleştirelim,
.M .M .M .Y. Y .Y.
Bu toplar 6!/3!.3! = 6.5.4/6 = 20 şekilde dizilebilirler.
Şimdi ise 7 yerden 3 tane seçip kırmızıları yerleştirelim. C(7,3) = 7!/4!.3! = 35
Tüm durumlar ise 9!/3!.3!.3! kadar olacaktır.
Şimdi ise kırmızı topların yanyana gelmeme olasılığını 35.20/9!/3!.3!.3! kadar olacaktır bunu 1 den çıkartırsak sonuca ulaşırız.
___________________________________________
Benzeri bir soru çözelim ki pekişsin.
Örnek.
Bir sırada 9 koltuk bulunmaktadır. 6 kişi bu sıralarda rastgele oturduktan sonra yanyana iki boş koltuğun kalma olasılığı nedir?
Çözüm.
Bir önceki soruda düşündüğümüz gibi düşüneceğiz.
Tüm durumlardan istenmeyeni çıkartmamız yani yanyana iki boş koltuk kalmama olasılığını bulmamız daha pratik olacaktır.
6 kişiyi oturtalım .İ.İ.İ.İ.İ.İ.
7 boşluk oluşacaktır. 3 tanesini seçersek yanyana iki boş koltuk kalmamış olacaktır.
C(7,3)
Tüm durumlar ise C(9,6) kadardır. 1-C(7,3)/C(9,6) olasılıkta olacaktır.
___________________________________________
*Örnek.
Bir tiyatro salonunda onar koltukluk on sıra bulunmaktadır ve koltuklar numaralanmıştır.Birbirinden habersiz bilet alan iki arkadaşın koltuklarının yanyana düşmesi olasılığı nedir?
Çözüm.
Bu soru yavaş yavaş Öss kitaplarına düşmeye başlamış bulunmakta bu nedenle kesinlikle bulundurmak istedim (Ösym'nin sormayacağı ne malum?) Mustafa Hocamız kitabında çok farklı bir çözüm bulundurmuş ben daha kısa ve anlaşılır bir çözüm yazacağım,
Her satırda 10 sıra olduğunu biliyoruz sıralarımız (yanyana olanlar) (1,2)(2,3)(3,4)(4,5)(5,6)(6,7)(7,8)(8,9)(9,10) olmak üzere 9 tanededir. O halde her sütunda 9 durum vardır.Bir de bu arkadaşların kendi arasında yer değişimi vardır (2!) 10 sütun olduğundan 9.2.10 tane istenilen durumumuz vardır.
Tüm durumlar : 100.99 dur oranlarsak sonuca ulaşmış oluruz.
Bu yazımda bu kadar soruya yer verebildim,zamanla diğerlerini de yayımlayacağım.
7 yolcu 3 vagondan oluşan boş bir trene rastgele birer vagon seçerek biniyorlar. Birinci vagonda tam olarak iki yolcu bulunması olasılığı nedir?
Çözüm.
Her yolcu için 3 seçenek olduğundan toplamda 37 durum vardır.
İstediğimiz durumlar içinse ilk önce 7 yolcudan 2 tane seçip en ön vagona koyalım diğerleri içinse 2 seçenek olacaktır.
C(7,2).2⁵
21.2⁵/37 = 224/729
___________________________________________
Örnek.
Rastgele seçilen altı basamaklı bir doğal sayının tam olarak iki basamağında 1 bulunması olasılığı nedir?
Çözüm.
İlk öncelikle ilk basamakta 1 rakamının başta bulunma durumu göze alalım.
Başta 1 rakamı varsa diğer 1 rakamı için 5 yerden birini seçmek gerekecektir. Daha sonra elimizde (0,2,3,4,5,6,7,8,9) olmak üzere 9 rakam kalacaktır ve 4 yer kalacaktır. İlk boşluğa 9 diğerine 9 diğerine 9 diğeri 9 rakam gelebilir.
Bu durum için 9.9.9.9.C(5,1) kadar durum olacaktır.
Başta 1 rakamı yoksa,
Bu durumda 5 yerden 2 tanesini seçer 1 rakamlarını yerleştiririz.Başa (1 ve 0 dışında) toplamda 8 rakam gelebilir.
Diğer 3 yere için (1 dışında) 9 rakam gelebilir. 8.9³.C(5,2)
Tüm durumlar ise,başa 0 gelemez o halde 9.10³ kadar.
İlk iki durumu toplayıp tüm durumların sayısına oranlarsanız sonuca ulaşmış oluruz.
___________________________________________
Örnek.
3 kırmızı , 3 mavi , 3 yeşil top rastgele sıralandığında en az iki kırmızı topun yanyana gelmesi olasılığı nedir?
Çözüm.
Bu tür sorularda iki kırmızı topun yan yana gelmemesi olasığını bulmamız daha kısa olacaktır.
İlk öncelikle Mavi ve Yeşil topları yerleştirelim,
.M .M .M .Y. Y .Y.
Bu toplar 6!/3!.3! = 6.5.4/6 = 20 şekilde dizilebilirler.
Şimdi ise 7 yerden 3 tane seçip kırmızıları yerleştirelim. C(7,3) = 7!/4!.3! = 35
Tüm durumlar ise 9!/3!.3!.3! kadar olacaktır.
Şimdi ise kırmızı topların yanyana gelmeme olasılığını 35.20/9!/3!.3!.3! kadar olacaktır bunu 1 den çıkartırsak sonuca ulaşırız.
___________________________________________
Benzeri bir soru çözelim ki pekişsin.
Örnek.
Bir sırada 9 koltuk bulunmaktadır. 6 kişi bu sıralarda rastgele oturduktan sonra yanyana iki boş koltuğun kalma olasılığı nedir?
Çözüm.
Bir önceki soruda düşündüğümüz gibi düşüneceğiz.
Tüm durumlardan istenmeyeni çıkartmamız yani yanyana iki boş koltuk kalmama olasılığını bulmamız daha pratik olacaktır.
6 kişiyi oturtalım .İ.İ.İ.İ.İ.İ.
7 boşluk oluşacaktır. 3 tanesini seçersek yanyana iki boş koltuk kalmamış olacaktır.
C(7,3)
Tüm durumlar ise C(9,6) kadardır. 1-C(7,3)/C(9,6) olasılıkta olacaktır.
___________________________________________
*Örnek.
Bir tiyatro salonunda onar koltukluk on sıra bulunmaktadır ve koltuklar numaralanmıştır.Birbirinden habersiz bilet alan iki arkadaşın koltuklarının yanyana düşmesi olasılığı nedir?
Çözüm.
Bu soru yavaş yavaş Öss kitaplarına düşmeye başlamış bulunmakta bu nedenle kesinlikle bulundurmak istedim (Ösym'nin sormayacağı ne malum?) Mustafa Hocamız kitabında çok farklı bir çözüm bulundurmuş ben daha kısa ve anlaşılır bir çözüm yazacağım,
Her satırda 10 sıra olduğunu biliyoruz sıralarımız (yanyana olanlar) (1,2)(2,3)(3,4)(4,5)(5,6)(6,7)(7,8)(8,9)(9,10) olmak üzere 9 tanededir. O halde her sütunda 9 durum vardır.Bir de bu arkadaşların kendi arasında yer değişimi vardır (2!) 10 sütun olduğundan 9.2.10 tane istenilen durumumuz vardır.
Tüm durumlar : 100.99 dur oranlarsak sonuca ulaşmış oluruz.
Bu yazımda bu kadar soruya yer verebildim,zamanla diğerlerini de yayımlayacağım.
yektasimsek 11:57 16 Eki 2013 #2
Savaş eline sağlık.
Son soru güzel.Ben direk oturtmayı dusundum fakat kenarlardaki bosluklardan dolayi sayarak hesaplamak en mantiklisi.
Son soru güzel.Ben direk oturtmayı dusundum fakat kenarlardaki bosluklardan dolayi sayarak hesaplamak en mantiklisi.
svsmumcu26 11:59 16 Eki 2013 #3
evet,öyle.
bunlar biraz daha kolay olimpik tarzda zamanım oldukça diğer güzel bulduklarımı da (ki hepsi güzel ve öğretici) eklemeye çalışacağım
bunlar biraz daha kolay olimpik tarzda zamanım oldukça diğer güzel bulduklarımı da (ki hepsi güzel ve öğretici) eklemeye çalışacağım