Faktöriyel -Sayı

soru 1 : 42!=A. 6üssü n eşitliğinde n'in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır ?
A) 19 B) 34 C) 49 D) 102 E)190

soru 2: 33! sayısı 24üssü n sayısı ile tam bölünüyorsa EN BÜYÜK n doğal sayısı kaçtır?

A)4 B)9 C)10 D)13 E)14,

soru 3: k,n ∈ N ve m∈ Z+ olmak üzere

22!+23!+24!=6 üssü k . 15 üssü n . m olduğuna göre

k.n çarpımı en fazla kaçtır ?

A)16 B)18 C)24 D)28 E)36


soru 4 n ∈ N+ olmak üzere n!
sayısının somdan 14 basamağı sıfır old göre n in alalbileceği kaç farklı değer vardır ?

A1 b2 c3 d4 e5




cevap anahtarı:
1e
2c
3d
4e

1) 42! sayısında kaç tane 6 çarpanı olduğunu bulalım 6=3.2 olduğundan sadece 3 çarpanlarına bakmak yeterli olacaktır.
42/3=14 , 14/3=4 , 4/3=1, 14+4+1=19 olduğundan n en fazla 19'dur
n'in alabileceği değerler 1,2,,,,,19 olup toplamı 19.20/2=190'dır.

2)33!'deki 24 çarpanlarını bulmalıyız 24=8.3 olduğundan 8 çarpanlarına bakmak yeterlidir.
33/2=16 , 16/2=8 , 8/2=4 , 4/2=2 , 2/2=1 toplarsak 31 eder fakat biz 8 çarpanlarına baktığımızdan 31/3=10

3)6^k.15ⁿ=2^k.3^k.3ⁿ.5ⁿ=2^k.5ⁿ.3^k+n
22!+23!+24!=24.22!+24!=24(22!+23!)=24.24.22!=2⁶.3².22!
Bu sayıda 25 tane 2 çarpanı , 4 tane 5 çarpanı , 11 tane 3 çarpanı vardır.
n ve k'yı en büyük seçmeliyiz. n en çok 4 olabilir (5 çarpanı ) n=4 olur k en çok 7 olabilir (k+n tane 3 çarpanı var)
öyleyse k.n en çok 28'tir.

4) Bu soruda biraz deneme yapmak lazım 50!'in sonunda 12 tane 0 var. sayıyı yükseltelim.
Mesela 60 alırsak 14 oluyor. 60,61,62, 63 ve 64 sayılarında da 14 tane vardır. 65den sonra 15'e çıkıyor. öyleyse 5 tane.
Ya da eğer 5k! sayısında 14 tane 0 varsa 5k+1,5k+2,5k+3,5k+4 sayılarında da 14 tane 0 vardır ve 5k+5'den sonra artar.
Buradan şunu anlıyoruz eğer bir faktöriyelin sonunda n tane 0 olması mümkünse faktöriyelinin sonunda n tane 0 olan 5 sayı vardır.