Sayılar

7.soru
54 basamaklı olamaz. zaten 72! sayısı 54 basamaktan fazla basamak içerir.Wolfram, 72! için 104 basamaklı bir sayı dedi. Biraz kötü olmasına rağmen bir sonuç buldum. Daha çok 72! sayısının 3 tabanında en az kaç basamaklı olduğunu buldum.
Öncelikle 72! sayısını tüm asal çarpanlarına ayırdım. Biraz uzun oldu
72!=2⁷⁰.3³⁴.5¹⁷.7¹¹.11⁶.13⁵.17⁴.19³.23³.29².31².37.41.43.47.53.59.61.67.71
şimdi bunları 3'lü yazdım. yani
2⁷⁰=(2²)³⁵=(4)³⁵=(3+1)³⁵ buradan 3³⁵ gelir.(Bu çarpma işlemini açtığın zaman 3³⁵+.......+1³⁵ şeklinde bir ifade gelir. Buradan 3³⁵ gelir. Küsüratları almadım.Bu arada bunlar genel değerlerdir. (3+1)³⁵ açarsan 3³⁵+105.3³⁴ gibi gibi değerler gelir. 3³⁵'ten daha büyük bir değer kesin vardır ama kaça kadar? Onu hesaplamak çok uzun olduğu için böyle hesaplıyorum. Büyük ihtimal 72! sayısının en az kaç basamaklı olduğunu bulurum.)
3³⁴=3³⁴ gelir.
5¹⁷=(3+2)¹⁷ buradan 3¹⁷ gelir.
7¹¹=(3²-2)¹¹ buradan 3²² gelir.
11⁶=(3²+2)⁶ buradan 3⁶ gelir.
13⁵=(3²+4)⁵ buradan 3¹⁰ gelir.
17⁴=(3²+8)⁴ buradan 3⁸ gelir.
19³=(3³-8)³ buradan 3⁹ gelir.
23³=(3³-4)³ buradan 3⁹ gelir.
29²=(3³+2)² buradan 3⁶ gelir.
31²=(3³+4)² buradan 3⁶ gelir.
37 =(3³+10) buradan 3³ gelir.
41 =(3³+14) buradan 3³ gelir.
43 =(3³+16) buradan 3³ gelir.
47 =(3³+20) buradan 3³ gelir.
53 =(3³+26) buradan 3³ gelir.
59 =(3⁴-22) buradan 3⁴ gelir.
61 =(3⁴-20) buradan 3⁴ gelir.
67 =(3⁴-14) buradan 3⁴ gelir.
61 =(3⁴-10) buradan 3⁴ gelir.
Bu değerler yerine sağdaki değerleri çarparsan;
3³⁵.3³⁴.3¹⁷.......3⁴=3¹⁹⁹ gelir.
Yani 72! en az 200 basamaklıdır. Diye bir şey buldum.

Helal olsun üşenmeden yazmışın eline sağlık tek 2.soru kaldı

hocamızın da dediği gibi 2. soru sizi boşuna uğraştırmak için sorulmuş pek bir esprisi olmayan (yani bana göre gereksiz) bir soru. biraz yorum yapıp süreyi kısaltabilirsiniz mesela e<f olduğundan c+d+e<=9+9+8=26 , buradan a.b için ihtimaller azalır falan filan ama yine de en az bir sayfa çözüm yapmak gerekir diye düşünüyorum. geçelim.

7. soru da bence hocamızın dediği gibi çünkü 72! in 3 tabanına kaç basamaklı olduğunu soru başına 1 dakika civarı sürenizin olduğu bir sınavda seçenekler size yardımcı olmamışsa bulmanız imkansız diyebilirim. (atıyorum seçenekler 50-80-100-220-1000 olsa cevap 220 diyebilirsiniz, doğru cevabı bilmiyorum wolframa kontrol ettirebilirsiniz )

neyse konuya gelelim, çok sıkıştıysanız
(n/3)^n<n!<(n/2)^n eşitsizliğinden faydalanabiliriz. (çok kaba bir tahmin ama çoğu zaman işe yarar, olmazsa çok daha iyi tahminler de var ama onları hem aklınızda tutmanız hem de hesap makinesi olmaksızın kullanmanız çok zor)

buradan
24^72=2^(216).3^72<72!<36^72=2^144.3^144 , ayrıca 2^8~3^5 diye düşünsek 2^216~3^135 ve 2^144~3^90 elde edilir
3^(135+72)<72!<3^(90+144)
bulunur. 72! sayısının 3 tabanında 208 ile 235 arasanda bir basamak sayısına sahip olduğunu tahmin edebiliriz.