Taban Aritmetiği

1. 7 sayı tabanı ve k ile m doğal sayılardır.
(21354362)₇=7k+m olduğuna göre, m en az kaçtır? (2)

2. a, b sıfırdan farklı birer rakam, (4a3b)₈ sayısının 8 ile bölümünden kalan 5 ise, (ab)₈ şeklinde yazılabilecek en büyük sayı ile en küçük sayının farkı aynı tabanda kaçtır? (60)

3. A=126!−1 sayısı veriliyor.
A sayısı sekiz tabanında yazılırsa sondan kaç basamağındaki rakam 7 olur? (40)

4. 81¹⁰−3²⁹+3³⁸+1 sayısı veriliyor. A sayısı 3 tabanında yazılırsa , elde edilen yeni sayı kaç basamaklı olur? (41)

5.(3213231)₄ sayısının on tabanındaki değerinin 16 ile bölümünden kalan kaçtır? (13)

C-1

Sayı tabanı 7 olduğundan verilen sayıda 7⁰ basamağı dışında tüm basamaklar çözümlendiğinde 7'nin katı olur ve 7 parantezine alınabilir. Çözümleyip 7 parantezine aldığımızda 7k+m şeklinde bir sayı buluruz, burada k çözümleme içindeki 7'nin katı olanları içerir, m ise 7'nin katı olmayan 7⁰ basamağını verecektir bize. Bu durumda m=2 olacaktır

C-2

Yukarıdaki soruda olduğu gibi, burada da birler basamağı dışında hepsi 8 ile tam bölüneceğinden birler basamağı bize kalanı verecektir. Yani b=5 olacaktır.

a en fazla 7, en az 1 olabilir. Bu durumlar için (75)-(15)=(60) bulunur

C-3

İçinde kaç tane 8 çarpanı olduğuna bakarız.
8=2³

126/2=63
63/2=31
31/2=15
15/2=7
7/2=3
3/2=1
+_______
120

2¹²⁰=8⁴⁰

İçinde 40 tane 8 çarpanı varsa 126! sayısının sondan 40 basamağı 0'dır. Öyleyse 126!-1'in de sondan 40 basamağı 7 dir

C-5

4² basamağından sonrası 16 ile tam bölünür. Öyleyse 4⁰ ve 4¹ basamaklarının çözümlemesi bizden istenen kalanı verir.

4.3+1=13 olacaktır.

1) 7k+m=(21354362)₇=2+6.7+3.7²+... = 2+7.(6+3.7+...) olduğu için m nin en küçük doğal sayı değeri 2 olur.

2) (4a3b)₈ sayısının 8 ile bölümünden kalan b dir. Yani b=5 tir. Buna göre 8 tabanındaki en büyük (ab)₈ sayısı (75)₈ ve en küçük (ab)₈ sayısı (15)₈ dir ve bunların farkı 8 tabanında 60 tır.

3) A sayısının 8 tabanındaki yazılımında sondan n basamağı 7 olursa, A+1 sayısının 8 tabanında yazılımında sondan n basamağı 0 olur. Bu durumda A+1=k.8ⁿ olacak şekilde bir k doğal sayısı vardır. k doğal sayı olmak üzere 126!=k.2³ⁿ ifadesinde n nin alabileceği en büyük doğal sayı değerini bulmalıyız. 126! sayısının içinde 63+31+15+7+3+1=120 tane 2 olduğu için n=120/3=40 tır.

4) 81¹⁰-3¹⁰+3³⁸+1 = 3⁴⁰+3³⁸-3²⁹+1 sayısı 3 tabanında 41 basamaklı bir sayıdır.

5) 16=4² olduğu için 4 tabanındaki bir sayının on tabanındaki değerinin 16 ile bölümünden kalan sayı ilk sayının 4 tabanında son iki basamağındaki sayıdır. Yani verilen soruda sayının on tabanındaki değerinin 16 ile bölümünden kalan (31)₄=13 tür.

C-4

81¹⁰=3⁴⁰
3⁴⁰ sayısı 3 tabanında 41 basamaklıdır, (100.........000) diye devam eder.

3³⁸-3²⁹ sayılarının 3 tabanındaki farkları pozitiftir, 41 basamaktan kesinlikle küçüktür. Hatta 38 basamaklıdır, (222222222000000000...000) diye devam eder.

41 basamaklı bir sayı ile 38 basamaklı bir sayının toplamı da mutlaka 41 basamaklı olacaktır. İkisinin de sonu 0 olduğundan +1 i işleme katmaya bile gerek yoktur

Çok teşekkürler. Emeğinize sağlık.