türev: !

1) F(X) = X3 – 3X2 + A eğrisinin yerel minimum değerinin yerel maksimum değerine oranı 5/3 olduğuna göre A kaçtır?

Cevap: -6


2) f: R-{2}->R olmak üzere f()X=2X2 – AX / X-2 fonksiyonunun X=1 apsisli noktasında yerel ekstremumu olduğuna göre diğer yerel ekstremum noktasının apsisi kaçtır?

Cevap: 3


3) f: R-{1}->R olmak üzzere f(X)=x2 + MX + N / X-1 fonksiyonunun X=3 noktasındaki yerel minimum değeri 4 olduğuna göre N kaçtır?

Cevap: 5

4) f(X)= X2 – 3x3 olduğuna göre Lim H->0 f(1-3h)-f(h+1) / h ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: 28

1)x³-3x²+A

1. türevini alıp işaret tablosu çizelim

f '(x)=3x²-6x

x(3x-6)=0 denklemin kökleri x=0 ve x=2 dir.
min/max=5/3

minimumu bulmak için fonk.da 2 yazarsak 2³-3.2²+A =-4+A
maximumu bulmak için 0 yazarsak A gelir.

(-4+A)/A=5/3
2A=-12
A=-6

4) f(x)=x²−3x³ , Lim H->0 f(1-3h)-f(h+1) / h

limitte h yerine 0 yazılınca 0/0 belirsizliği çıkar.
pay ve paydanın türevini alırız belirsizlik ortadan kalkması için

f(1-3h) , f(h+1) ikiside bileşke fonksiyon.türev alırken bileşke fonk türevi kuralını uygularız.

Lim H->0 f'(1-3h).(1-3h)' − f'(h+1).(h+1)' / (h)'

Lim H->0 f'(1-3h).(-3) − f'(h+1).1 /1

h yerine 0 yazarsak belirsizliğin olmadığını görürüz.

f'(1).(-3) - f'(1).1 / 1

f'(1)=2.1-9.1²
f'(1)=-7

(-7).(-3)− (-7).1/1 =28

2) f: R-{2}->R olmak üzere f()X=2X2 – AX / X-2 fonksiyonunun X=1 apsisli noktasında yerel ekstremumu olduğuna göre diğer yerel ekstremum noktasının apsisi kaçtır?

f(x)= (2x²-Ax) / (x-2) 1. türevine bakılırsa. (bölümün türevi)

f'(x)=(4x-A).(x-2) − (2x²-Ax) / (x-2)²

f'(x)= (2x²−8x+2A) / (x-2)²

payı 2 ile sadeleştirebiliriz.

x²-4x+A

x=1 noktasında yerel ekstremumu varmış.denklemin köklerinden birisi 1 o zaman.

A=-1.B

B+(-1)=-4 olması gerek B=-3

yani buda denklemi 0 yapan köklerden birinin 3 olduğunu gösterir.buda ekstremum noktasının diğer apsisidir zaten.


NOT: paydadaki (x-2)² kısmıdanda bir kök (2) gelir bunu almadım.bu noktada tanımsız.

3)f: R-{1}->R olmak üzzere f(X)=x2 + MX + N / X-1 fonksiyonunun X=3 noktasındaki yerel minimum değeri 4 olduğuna göre N kaçtır?

2. soruyla aynı mantık

f(x)=(x²+Mx+N)/(x-1)

1. türevi alınır.

(2x+M).(x-1) −(x²+Mx+N) / (x-1)²

f(x)= (x²−2x-M-N)/ (x-1)²

x=3 noktasında yerel minimum var
(-M-N) bu sayının çarpanlarından biri -3 diğeri bilinmiyor.diğer çarpana B dersek.
-3+B=-2 olması lazım.burdan B=1 diğer çarpan bulunmuş oldu 1 miş.

-M-N= -3.1
-M-N=-3 (1. denklem)


x=3 noktasındaki yerel minimum 4

fonk.da x yerine 3 yazıp 4 e eşitleyelim.

f(3)=(3²+3M+N)/(3-1)

(9+3M+N) /2 =4

3M+N=-1 (2. denklem)
NOT: paydadaki kök alınmıyor tanımsız yapıyor.
-M-N=-3 (1. denklem)
3M+N=-1 (2. denklem)

1. denklemi 3 le çarpıp toplarsak.


-2N=-10
N=5