[cgtydmn]

Selamlar, son zamanlarda kafamı kurcalayan bir soru var f(x)=e^x fonksiyonunun türevi neden hep kendisine eşit olur? Yaklaşık iki gündür düşünüyorum fakat mantıklı bir sebep bulamadım yardımcı olur msusunuz?
Saygılarımla.

[kcancelik]

Kapalı diferansiyel alma ile kanıtlayabiliriz:
y=f(x)=e^x ise her iki tarafın logaritmasını alalım:
ln(y)=x
Şimdi her iki tarafın türevini alalım:

d

dx

ln(y)=

d

dx

x

ln(y)'nin türevi 1/y dir. x'in türevi birdir. O halde;

1

y

y'=

1

y'yi karşıya gönderelim:
y'=y
y=e^x olduğundan, yerine yazarsak;
y'=e^x olur.
İyi günler.

[cgtydmn]

Çok teşekkür ederim ben grafikler üzerinden sebebini bulmaya çalışıyodum.Peki ln(x)'in türevinin 1/x olmasının sebebi nedir?

[kcancelik]

O biraz daha karmaşık, şimdi hazırlıyorum. Birazdan göndereceğim.
İspattan önce kısa bir ön bilgi vereyim;

ln(a)=

∫

a

0

1

x

dx olarak tanımlandığı için, zaten tanımdan çıkarılabilir.

Aslında ispatı da integral tanımından çıkıyor.
İyi günler.

[gereksizyorumcu]

Çok teşekkür ederim ben grafikler üzerinden sebebini bulmaya çalışıyodum.Peki ln(x)'in türevinin 1/x olmasının sebebi nedir?

bu e^x ve lnx in türevlerinin nden böyle olduğunu lisede ben de merak etmiştim. yanlış hatırlamıyorsam ünversitede bi hocamız şuna benzer bir ispat yapmıştı; (zor bişey değil ama lisede insan bu niye böyle bu niye şöyle diye düşünüyor işte)





editörle yazması o kadar da kolay değilmiş

[cgtydmn]

Çok zekice e sayısının tanımından bulmak. Birleşik faiz hesabı problemlerinde bu terimin aynısını görmüştüm. Çok teşekkür ederim calculuse ve diferansiyel hesaba yeni merak sarmış biri olarak kafamı çok rahatlattınız. Matematik büyü gibi birşey.

[kcancelik]

Öncelikle doğal logaritmanın tanımını yazalım:
A alanı, y=1/x eğrisi, y=0, x=1 ve x=h arasındaki alan olarak tanımlayalım. O halde;
ln(x)= x≥1 ise A
0<x<1 ise -A olarak tanımlanır.
Grafiği görelim;

Sarı ile işaretlenmiş dikdörtgenin alanı

h

x+h

dır.Üstteki siyah doğrunun altında kalan bütün alan da

h

x

ile verilebilir.

Burada 1/x eğrisi altında kalan alan ln(x+h)-ln(x)'e denk gelir. Alanlar, aşağıdaki eşitsizliğe uyarlar;

h

x+h

< ln(x+h)-ln(x) <

h

x

Eşitsizliğin her tarafını h ile bölersek;

1

x+h

<

ln(x+h)-ln(x)

h

<

1

x

olur. Dikkat edersek ln(x) için Newton Oranı'nı elde etmiş olduk. Artık limit alabiliriz, önce sağ limitle başlayalım:

lim

h→0+

1

x+h

<

ln(x+h)-ln(x)

h

<

1

x

O halde

1

x

<

ln(x+h)-ln(x)

h

<

1

x

olur. Burada sıkıştırma(sandviç) teoreminden ln(x)'in h sağdan 0'a giderken limiti 1/x diyebiliriz. Fazla uzatmamak adına buraya eklemiyorum, aynısını soldan limit için de aynı şekilde uygulayabiliriz ve aynı sonuca ulaşırız.Sağdan ve soldan limit eşit olduğuna göre ln(x)'in türevi 1/x'tir diyebiliriz.
Üstteki ispat kolaydı, ama bunda biraz kopya çektim.
@gereksizyorumcu'nun dediği gibi insan lisede merak ediyor, neyse ki sadece merakla bırakmak yerine öğrenecek imkanlara sahibiz. Mesela ben de senin sayende iyice pekiştirmiş oldum.
İyi günler.

[cgtydmn]

Bu kanıtlamada çok güzeldi anlaşılan bu forumda çok şey öğreneceğim Sevgili kcancelik yanıtların için çok teşekkür ederim.