1. #1

    Statü
    Grubu
    Üye
    İş
    10. sınıf

    Sponsorlu Bağlantılar

    f(x)=e^x fonksiyonunun türevi?

    Selamlar, son zamanlarda kafamı kurcalayan bir soru var f(x)=e^x fonksiyonunun türevi neden hep kendisine eşit olur? Yaklaşık iki gündür düşünüyorum fakat mantıklı bir sebep bulamadım yardımcı olur msusunuz?
    Saygılarımla.

  2. #2

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    11. sınıf

    Sponsorlu Bağlantılar

    Kapalı diferansiyel alma ile kanıtlayabiliriz:
    y=f(x)=ex ise her iki tarafın logaritmasını alalım:
    ln(y)=x
    Şimdi her iki tarafın türevini alalım:
    d
    dx
    ln(y)=
    d
    dx
    x



    ln(y)'nin türevi 1/y dir. x'in türevi birdir. O halde;
    1
    y
    y'=
    1



    y'yi karşıya gönderelim:
    y'=y
    y=ex olduğundan, yerine yazarsak;
    y'=ex olur.
    İyi günler.
    Bilgi ve ego ters orantılıdır, bilgi arttıkça ego azalır. (Albert Einstein)

  3. #3

    Statü
    Grubu
    Üye
    İş
    10. sınıf

    Sponsorlu Bağlantılar

    Çok teşekkür ederim ben grafikler üzerinden sebebini bulmaya çalışıyodum.Peki ln(x)'in türevinin 1/x olmasının sebebi nedir?

  4. #4

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    11. sınıf
    O biraz daha karmaşık, şimdi hazırlıyorum. Birazdan göndereceğim.
    İspattan önce kısa bir ön bilgi vereyim;
    ln(a)=
    a
    0
    1
    x
    dx olarak tanımlandığı için, zaten tanımdan çıkarılabilir.



    Aslında ispatı da integral tanımından çıkıyor.
    İyi günler.
    Bilgi ve ego ters orantılıdır, bilgi arttıkça ego azalır. (Albert Einstein)

  5. #5

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    Çok teşekkür ederim ben grafikler üzerinden sebebini bulmaya çalışıyodum.Peki ln(x)'in türevinin 1/x olmasının sebebi nedir?
    bu ex ve lnx in türevlerinin nden böyle olduğunu lisede ben de merak etmiştim. yanlış hatırlamıyorsam ünversitede bi hocamız şuna benzer bir ispat yapmıştı; (zor bişey değil ama lisede insan bu niye böyle bu niye şöyle diye düşünüyor işte)





    editörle yazması o kadar da kolay değilmiş

  6. #6

    Statü
    Grubu
    Üye
    İş
    10. sınıf
    Çok zekice e sayısının tanımından bulmak. Birleşik faiz hesabı problemlerinde bu terimin aynısını görmüştüm. Çok teşekkür ederim calculuse ve diferansiyel hesaba yeni merak sarmış biri olarak kafamı çok rahatlattınız. Matematik büyü gibi birşey.

  7. #7

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    11. sınıf
    Öncelikle doğal logaritmanın tanımını yazalım:
    A alanı, y=1/x eğrisi, y=0, x=1 ve x=h arasındaki alan olarak tanımlayalım. O halde;
    ln(x)= x≥1 ise A
    0<x<1 ise -A olarak tanımlanır.
    Grafiği görelim;

    Sarı ile işaretlenmiş dikdörtgenin alanı
    h
    x+h
    dır.Üstteki siyah doğrunun altında kalan bütün alan da
    h
    x
    ile verilebilir.



    Burada 1/x eğrisi altında kalan alan ln(x+h)-ln(x)'e denk gelir. Alanlar, aşağıdaki eşitsizliğe uyarlar;


    h
    x+h
    < ln(x+h)-ln(x) <
    h
    x



    Eşitsizliğin her tarafını h ile bölersek;
    1
    x+h
    <
    ln(x+h)-ln(x)
    h
    <
    1
    x



    olur. Dikkat edersek ln(x) için Newton Oranı'nı elde etmiş olduk. Artık limit alabiliriz, önce sağ limitle başlayalım:
    lim
    h→0+
    1
    x+h
    <
    ln(x+h)-ln(x)
    h
    <
    1
    x




    O halde
    1
    x
    <
    ln(x+h)-ln(x)
    h
    <
    1
    x



    olur. Burada sıkıştırma(sandviç) teoreminden ln(x)'in h sağdan 0'a giderken limiti 1/x diyebiliriz. Fazla uzatmamak adına buraya eklemiyorum, aynısını soldan limit için de aynı şekilde uygulayabiliriz ve aynı sonuca ulaşırız.Sağdan ve soldan limit eşit olduğuna göre ln(x)'in türevi 1/x'tir diyebiliriz.
    Üstteki ispat kolaydı, ama bunda biraz kopya çektim.
    @gereksizyorumcu'nun dediği gibi insan lisede merak ediyor, neyse ki sadece merakla bırakmak yerine öğrenecek imkanlara sahibiz. Mesela ben de senin sayende iyice pekiştirmiş oldum.
    İyi günler.
    Bilgi ve ego ters orantılıdır, bilgi arttıkça ego azalır. (Albert Einstein)

  8. #8

    Statü
    Grubu
    Üye
    İş
    10. sınıf
    Bu kanıtlamada çok güzeldi anlaşılan bu forumda çok şey öğreneceğim Sevgili kcancelik yanıtların için çok teşekkür ederim.


 

  • Bu yazıyı beğenerek
    destek
    verebilirsiniz

    Foruma üye olmana gerek yok! Facebook hesabınla yorumlarını bekliyoruz!
  • Benzer konular

    1. logaritma fonksiyonunun grafiği
      ccemre, bu konuyu "11. sınıf matematik soruları" forumunda açtı.
      : 3
      : 28 Ara 2014, 15:10
    2. trigonometrik fonk. türevi ve üstel fonk türevi
      mümine, bu konuyu "Ygs & Lys Matematik" forumunda açtı.
      : 2
      : 17 Ara 2012, 10:31
    3. mutlak değer fonksiyonunun grafiği
      asuman aydın, bu konuyu "12. sınıf matematik soruları" forumunda açtı.
      : 2
      : 13 Eki 2011, 18:12
    4. Bir Fonksiyonun Ters Fonksiyonunun Türevi
      MatematikciFM, bu konuyu "Matematik Formülleri" forumunda açtı.
      : 0
      : 20 Şub 2011, 13:05
    5. Mutlak Değer Fonksiyonunun İntegrali
      MatematikciFM, bu konuyu "Matematik Formülleri" forumunda açtı.
      : 0
      : 20 Şub 2011, 11:12
    Forum Kullanım ve Gizlilik Kuralları