Selamlar, son zamanlarda kafamı kurcalayan bir soru var f(x)=e^x fonksiyonunun türevi neden hep kendisine eşit olur? Yaklaşık iki gündür düşünüyorum fakat mantıklı bir sebep bulamadım yardımcı olur msusunuz?
Saygılarımla.
Saygılarımla.
Kapalı diferansiyel alma ile kanıtlayabiliriz:
y=f(x)=ex ise her iki tarafın logaritmasını alalım:
ln(y)=x
Şimdi her iki tarafın türevini alalım:
ln(y)'nin türevi 1/y dir. x'in türevi birdir. O halde;
y'yi karşıya gönderelim:
y'=y
y=ex olduğundan, yerine yazarsak;
y'=ex olur.
İyi günler.
y=f(x)=ex ise her iki tarafın logaritmasını alalım:
ln(y)=x
Şimdi her iki tarafın türevini alalım:
d
dx
ln(y)=
d
dx
x
ln(y)'nin türevi 1/y dir. x'in türevi birdir. O halde;
1
y
y'=
1
y'yi karşıya gönderelim:
y'=y
y=ex olduğundan, yerine yazarsak;
y'=ex olur.
İyi günler.
Çok teşekkür ederim ben grafikler üzerinden sebebini bulmaya çalışıyodum.Peki ln(x)'in türevinin 1/x olmasının sebebi nedir?
O biraz daha karmaşık, şimdi hazırlıyorum. Birazdan göndereceğim.
İspattan önce kısa bir ön bilgi vereyim;
Aslında ispatı da integral tanımından çıkıyor.
İyi günler.
İspattan önce kısa bir ön bilgi vereyim;
ln(a)=
∫
a
0
1
x
dx olarak tanımlandığı için, zaten tanımdan çıkarılabilir.
Aslında ispatı da integral tanımından çıkıyor.
İyi günler.
gereksizyorumcu 20:15 02 Ağu 2012 #5 Çok teşekkür ederim ben grafikler üzerinden sebebini bulmaya çalışıyodum.Peki ln(x)'in türevinin 1/x olmasının sebebi nedir?
editörle yazması o kadar da kolay değilmiş
Çok zekice e sayısının tanımından bulmak. Birleşik faiz hesabı problemlerinde bu terimin aynısını görmüştüm. Çok teşekkür ederim calculuse ve diferansiyel hesaba yeni merak sarmış biri olarak kafamı çok rahatlattınız. Matematik büyü gibi birşey.
Öncelikle doğal logaritmanın tanımını yazalım:
A alanı, y=1/x eğrisi, y=0, x=1 ve x=h arasındaki alan olarak tanımlayalım. O halde;
ln(x)= x≥1 ise A
0<x<1 ise -A olarak tanımlanır.
Grafiği görelim;
Burada 1/x eğrisi altında kalan alan ln(x+h)-ln(x)'e denk gelir. Alanlar, aşağıdaki eşitsizliğe uyarlar;
Eşitsizliğin her tarafını h ile bölersek;
olur. Dikkat edersek ln(x) için Newton Oranı'nı elde etmiş olduk. Artık limit alabiliriz, önce sağ limitle başlayalım:
O halde
olur. Burada sıkıştırma(sandviç) teoreminden ln(x)'in h sağdan 0'a giderken limiti 1/x diyebiliriz. Fazla uzatmamak adına buraya eklemiyorum, aynısını soldan limit için de aynı şekilde uygulayabiliriz ve aynı sonuca ulaşırız.Sağdan ve soldan limit eşit olduğuna göre ln(x)'in türevi 1/x'tir diyebiliriz.
Üstteki ispat kolaydı, ama bunda biraz kopya çektim.
@gereksizyorumcu'nun dediği gibi insan lisede merak ediyor, neyse ki sadece merakla bırakmak yerine öğrenecek imkanlara sahibiz. Mesela ben de senin sayende iyice pekiştirmiş oldum.
İyi günler.
A alanı, y=1/x eğrisi, y=0, x=1 ve x=h arasındaki alan olarak tanımlayalım. O halde;
ln(x)= x≥1 ise A
0<x<1 ise -A olarak tanımlanır.
Grafiği görelim;
Sarı ile işaretlenmiş dikdörtgenin alanı
h
x+h
dır.Üstteki siyah doğrunun altında kalan bütün alan da
h
x
ile verilebilir.
Burada 1/x eğrisi altında kalan alan ln(x+h)-ln(x)'e denk gelir. Alanlar, aşağıdaki eşitsizliğe uyarlar;
h
x+h
< ln(x+h)-ln(x) <
h
x
Eşitsizliğin her tarafını h ile bölersek;
1
x+h
<
ln(x+h)-ln(x)
h
<
1
x
olur. Dikkat edersek ln(x) için Newton Oranı'nı elde etmiş olduk. Artık limit alabiliriz, önce sağ limitle başlayalım:
lim
h→0+
1
x+h
<
ln(x+h)-ln(x)
h
<
1
x
O halde
1
x
<
ln(x+h)-ln(x)
h
<
1
x
olur. Burada sıkıştırma(sandviç) teoreminden ln(x)'in h sağdan 0'a giderken limiti 1/x diyebiliriz. Fazla uzatmamak adına buraya eklemiyorum, aynısını soldan limit için de aynı şekilde uygulayabiliriz ve aynı sonuca ulaşırız.Sağdan ve soldan limit eşit olduğuna göre ln(x)'in türevi 1/x'tir diyebiliriz.
Üstteki ispat kolaydı, ama bunda biraz kopya çektim.
@gereksizyorumcu'nun dediği gibi insan lisede merak ediyor, neyse ki sadece merakla bırakmak yerine öğrenecek imkanlara sahibiz. Mesela ben de senin sayende iyice pekiştirmiş oldum.
İyi günler.
Bu kanıtlamada çok güzeldi anlaşılan bu forumda çok şey öğreneceğim Sevgili kcancelik yanıtların için çok teşekkür ederim.
Sevgili kcancelik yanıtların için çok teşekkür ederim.