0! neden birdir?(performans ödevim)
Biraz araştırdım ve durumun üç farklı şekilde değerlendirilebileceğini gördüm;
1) Bir (pozitif) tamsayının faktoriyeli kendisi ve kendisinden küçük bütün pozitif tamsayıların çarpımı olarak tanımlanır. Bu tanım 0! in tanımını içermez.Çünkü kendinden küçük bir pozitif tamsayı bulunmamakla beraber kendisi de pozitif değildir. 0! “faktoriyel” tanımının amaçlarına uygunluk olması açısından 1 olarak ayrıca tanımlanmıştır. Faktoriyelin fiziksel olarak yorumu şöyledir
n!: n tane elemanın permütasyonlarının sayısıdır
Yani daha somut olarak:
n tane kitabı bir rafa kaç farklı şekilde sıralarız sorusunun cevabıdır.
İşte bu nedenle 0! 1 olarak tanımlanmıştır. Çünkü 0 tane kitabı 1 rafa sıralamaya kalkarsanız elde edeceğiniz 1 yol vardır: boş raf. Sıralayacak bir şey yoktur.
2)n!=n (n-1) (n-2)…3 2 1
Bunu şöyle yazabiliriz:
n!=(n)(n-1)!
(n-1)!’i çekersek:
(n-1)!=n!/n
Bu formülün n=1 için nasıl çalıştığına bir bakın:
(1-1)!=1!/1
0!=1
Bu bir ispat değil. Ama 0!’in neden 0, 9, 2000 ya da başka herhangi bir sayı olarak tanımlanmadığına ve bu tanım için matematikçilerin 1 rakamını uygun görmesine diğer bir ikna yoludur.
3)(Aslında ilk durumun hikaye ile desteklenmiş şekli)
Bir polis memuruna şöyle bir görev veriliyor: Bir trenin bütün kompartımanlarına (odalarına) girecek ve odaların içindekilerle birlikte odaların fotoğrafını çekecek. Yolcular fotoğraf çekilirken pencerenin önüne tek sıra halinde sıralanacaklar. o da giriş kapısından tüm odayı alacak şekilde fotoğraf çekecek.
Bu durumda eğer odada 5 kişi varsa 120 farklı şekilde, 4 kişi varsa 24 farklı şekilde, 3 kişi varsa 6 farklı şekilde, 2 kişi varsa 2 farklı şekilde fotoğraf çekebilir.
1 kişi varsa da 1 şekilde çekebilir. Şimdi gelelim 0 kişi olma durumuna. Yani oda boşsa bile bu polis fotoğraf çekmek zorundadır. Çünkü emir böyle. O halde boş odanın da fotoğrafını 1 şekilde çekebilir.
Hikayelere güven olmaz ama müşahhaslaştırmak açısından faydalı olabilir. Zaten matematiksel yollarla da ispatlanan bir konu olan 0!=1 olması için böyle bir hikaye sakıncalı olmaz inşallah.
1) Bir (pozitif) tamsayının faktoriyeli kendisi ve kendisinden küçük bütün pozitif tamsayıların çarpımı olarak tanımlanır. Bu tanım 0! in tanımını içermez.Çünkü kendinden küçük bir pozitif tamsayı bulunmamakla beraber kendisi de pozitif değildir. 0! “faktoriyel” tanımının amaçlarına uygunluk olması açısından 1 olarak ayrıca tanımlanmıştır. Faktoriyelin fiziksel olarak yorumu şöyledir
n!: n tane elemanın permütasyonlarının sayısıdır
Yani daha somut olarak:
n tane kitabı bir rafa kaç farklı şekilde sıralarız sorusunun cevabıdır.
İşte bu nedenle 0! 1 olarak tanımlanmıştır. Çünkü 0 tane kitabı 1 rafa sıralamaya kalkarsanız elde edeceğiniz 1 yol vardır: boş raf. Sıralayacak bir şey yoktur.
2)n!=n (n-1) (n-2)…3 2 1
Bunu şöyle yazabiliriz:
n!=(n)(n-1)!
(n-1)!’i çekersek:
(n-1)!=n!/n
Bu formülün n=1 için nasıl çalıştığına bir bakın:
(1-1)!=1!/1
0!=1
Bu bir ispat değil. Ama 0!’in neden 0, 9, 2000 ya da başka herhangi bir sayı olarak tanımlanmadığına ve bu tanım için matematikçilerin 1 rakamını uygun görmesine diğer bir ikna yoludur.
3)(Aslında ilk durumun hikaye ile desteklenmiş şekli)
Bir polis memuruna şöyle bir görev veriliyor: Bir trenin bütün kompartımanlarına (odalarına) girecek ve odaların içindekilerle birlikte odaların fotoğrafını çekecek. Yolcular fotoğraf çekilirken pencerenin önüne tek sıra halinde sıralanacaklar. o da giriş kapısından tüm odayı alacak şekilde fotoğraf çekecek.
Bu durumda eğer odada 5 kişi varsa 120 farklı şekilde, 4 kişi varsa 24 farklı şekilde, 3 kişi varsa 6 farklı şekilde, 2 kişi varsa 2 farklı şekilde fotoğraf çekebilir.
1 kişi varsa da 1 şekilde çekebilir. Şimdi gelelim 0 kişi olma durumuna. Yani oda boşsa bile bu polis fotoğraf çekmek zorundadır. Çünkü emir böyle. O halde boş odanın da fotoğrafını 1 şekilde çekebilir.
Hikayelere güven olmaz ama müşahhaslaştırmak açısından faydalı olabilir. Zaten matematiksel yollarla da ispatlanan bir konu olan 0!=1 olması için böyle bir hikaye sakıncalı olmaz inşallah.