Karmaşık Sayılar

1) z= (1+i)⁻² - (1-i)⁻² / (1+√-4) ise, z sayısının sanal kısmı kaçtır? (-1/5)
2) z²=2+3ai denklemini sağlayan z karmaşık sayılarından b+i ise, a.b=? (2)
3) z³=-i eşitliğini sağlayan z karmaşık sayıları nelerdir?
4) z=cos10+ i.(1+sin10) karmaşık sayısının esas argümenti nedir? (50)
5) z₁=1+√5 i z₂=√5 + i olduğuna göre arg(z₁)+arg(z₂) =? (90)

yardımcı olabilirseniz çok sevinirim şimdiden teşekkürler

1)(1+i)^-2=1/2i ve (1-i)^-2=-1/2i

yani z=(1/2i-(-1/2i))/(1+√-4)=buradan da (2/2i)/(1+2i)=(1/i)/(1+2i) bulunur.1-2i ile genişletirsek
cevap Z=(-2-i)/5 olacak.buradan da sanal kısım -1/5 olur

3)z^3=-i=cis270 buradan karmaşık sayının küp köklerini bulursun yani cis((270-2kpi)/3) formülüyle bulursun kökleri

k=0 için =>cis90
k=1 için =>cis((270+360)/3) yani cis210

4)tan(z)=(1+sin10)/cos10

sin ve cosları birbirine dönüştürürsün yani (1+cos80)/sin80 yaparız
buradan cos80=2cos²(40)-1 ve sin80=2sin40.cos40 olduğundan

tan(z)=(1+2cos²40-1)/2sin40.cos40 olur
buradan 2cos²40/2sin40.cos40 olur
Sadeleştirirsek tan(z)=cot40 olur cot40 =tan50 olduğundan arg(z)=50'dir.

5)tan(arg(z₁))=√5 ve tan(arg(z₂))=1/√5'tir

tanjantın toplam formülünü hatırlayalım:yani tan(a+b)=(tan+tanb)/1-tana.tanb
bu işleme uygularsak bu formülü

tan(arg(z₁)+arg(z₂))=tan(arg(z₁))+tan(arg(z₂))/1-tan(arg(z₁)).tan(arg(z₂))'dir

buradan tan(arg(z₁)+arg(z₂))=(√5+1/√5)/1-√5.1/√5 buluruz.
Payda 0 olur.yani
tan(arg(z₁)+arg(z₂))=∞

Payda sıfırsa tanjant tanımsız bir sayıdır.Yani arg(z₁)+arg(z₂) ya 270 ya da 90.sayılara baktığımızda ikisi de birinci bölgede yani cevap 90.

2)z²'nin köklerinden biri b+i ise diğeri -b-i olur.karmaşık sayının kareköklerinin çarpımı kendisinin negatif hali olduğundan

(b+i).(-b-i)=-2-3ai olur.
burdan -b²+1-2bi=-2-3ai çıkar

reelleri reellere sanalları sanallara eşitleriz.
-b²+1=-2 yani b²=3 ve b=√3

3a=2b b=√3 olduğundan 3a=2√3 ve a=2√3/3 olur.
Yani a.b=(2√3/3).(√3)=2

çooook teşekkür ederim

Rica ederim