Karmaşık Sayılar

1) z= (3-2i)² . (√5+2i) / √7-24i (Burada -24i de kök içerisinde.) olduğuna göre z nin mutlak değeri kaçtır? Cevap: 39/5

2) (√8+ix)(5+12i) / (2i-3)² karmaşık sayısının modülü √10 birim olduğuna göre, x'in değeri kaç olabilir? Cevap:6

3) z₁= √5+i
z₁.z₂ = 1-√5i olduğuna göre z₂'nin eşleniğinin modülü kaçtır? Cevap:1

4)√z.znin eşleniği - iz = 1-3i olduğuna göre, Im(z) değeri kaçtır?
Cevap: -4

5) z₁= x+5i
z₂= 2-3i
|z1-z2 nin eşleniği| = 10 olduğuna göre, x kaç olabilir? Cevap: 8
Şimdiden teşekkür ederim.

C-1)

lzl= l3-2il² . l√5+2il / l√(7-24i)l
lzl= (√13)².3/√25
lzl= 13.3/5=(69/5)

C-2)

Not : "√8+ix" yazdığınız terimde ix'de kökün içinde olmalı , aksi halde cevap 6 çıkmıyor.

lzl=l√(8+ix)l . l(5+12i)l / l(2i-3)l² = √10
lzl=l√(8+ix)l . 13 / (√13)² = √10
lzl=l√(8+ix)l = √10
lzl=√[√(64+x²)] = √10

iki tarafında karesini alırsak ;

lzl=√(64+x²)=10
lzl=64+x²=100 => x²=36 => x=-6 , x=6

C-3)

z1.z2/z1 yaparsak ; (√5+i)/[1-(√5)i] = z2 olacaktır.
Bu kalıp çok sık geliyor sorularda ; (a+bi)/(b-ai) veya (a-bi)/(b+ai)
bunları neye eşit olduğunu anlamak için paydayı eşlenikle çarpmamıza gerek yok.
sonuç , pay'daki (üstteki ifadedeki) işaret ne ise "i" nin o işaretli olanı gelir.

Örneğin ; (1+3i)/(3-i) ifadesini bulurken a,b ve b,a olduğunu gördük , işaretlerde ters.O zaman bildiğimiz durum olduğunu anladık.Üstteki ifadede yani 1+3i de reel ve sanal kısım arasındaki işaret + olduğu için sonuç "+i" olacaktır.

Bunu kendiniz bir kaç örnek yaparakta kanıtlayabilirsiniz.Zamanın çok önemli olduğu sınavlarda , bu bilgi ilaç gibi oluyor

Sorumuza dönelim. z2=(√5+i)/[1-(√5)i] 'idi. Tanıdığımız ifade olduğu için , paydayı eşlenikle çarpmadan z2=i diyorum. Buradan lz2l=lz2l=1 gelir.

C-4)

√(z.z)-i.z=1-3i ise Im(z)=?

z.z = lzl² olduğunu biliyoruz.

√(lzl²)-i.z=1-3i
lzl-i.z=1-3i
√(a²+b²) - i.(a+bi)=1-3i
√(a²+b²) - ai+b = 1-3i => a=3
√(9+b²) -3i+b =1-3i => √(9+b²) + b = 1
-b+1=√(9+b²)
b²-2b+1=9+b²
-2b=8
b=-4

ise ; z=3-4i ve Im(z)=-4

C-5)

lz1-z2l = 10 ise x=?

z1-z2=(x+5i)-(2-3i)
z1-z2=x+5i-2+3i = x-2+8i
z1-z2 = x-2-8i
|z1-z2l = 10 olduğundan dolayı ; z1-z2=6-8i veya -6-8i olmalı.
x-2-8i=6-8i olursa ; x=8
x-2-8i=-6-8i olursa ; x=-4 olabilir.

Aynen 2. soruda o da kök içinde.
Çok teşekkürler emeğinize sağlık.

1. soruda payda bölümünde √25i nasıl buluyoruz anlayamadım ama.

z=7-24i ise lzl=25 (ben 7-24-25) üçgeninden doğrudan yazdım.

Eğer bilmeseydik ;

√(7²+24²) işlemini yapmamız gerekecekti

Şimdi anladım sağolun.