Karmaşık Sayılar

1) i² = -1 olmak üzere,
işleminin sonucu kaçtır? (1+√3i )


2) Z∈C,
Arg(Z+2-2√3i)= 2π/3
Arg(Z-4√3i)= π
olduğuna göre, Arg(Z) kaçtır? (2π/3)


3)P(x)=x³-3x²+x polinomu ve Z=1+i karmaşık sayısı için P(Z)+P(Z) toplamı kaçtır? (-2)

4) i(Z-i)+2i=|Z| eşitliğini sağlayan Z karmaşık sayısı için Re(Z).Im(Z) çarpımı kaçtır?(-3)

5) z karmaşık sayısının uzunluğu 4 birim olduğuna göre,

sayısının uzunluğu kaç birimdir?(2)

1) -cos140-i.cos230 yı düzenlersek; -cos140=cos40 ve -cos230=sin40 olacağından karmaşık sayıyı cis40 biçiminde yazabiliriz.

sin70-i.cos110 içinde sin70=cos20 ve -cos110=sin20 olacağından cos20
isin20= cis20 olarak yazabiliriz. Bu durumda

2cis80/cis20 = 2cis60=1+√3i

2)z sayısına x+yi diyelim. Bu durumda
Arg(Z+2-2√3i= x+2+(y-2√3)i)=120
Arg(x+(y-4√3)i)=180 olur.

Arg(x+(y-4√3i) 180 derece olabilmesi için sin180=0 olacağından i li değerin katsayısı 0 olmalıdır. Bu durumda y= 4√3 olmalıdır.

Arg(Z+2-2√3i= x+2+(y-2√3)i)=120 olabilmesi içinde x in -4 olması gerekmektedir. Bu durumda z=-4+4√3)i ise Arg(z)=120 derece=2∏/3 olur.

C-5

Önce sorulan ifadede bildiklerimizi yerine yazalım, |z|=4

(z.√4)/4=2z/4=z/2 elde ettik, bu ifadenin de uzunluğu soruluyor bizden, mutlak değere alabiliriz. |z/2|=|z|/2=4/2=2

C-4)
Z=a+bi dersek ;
i(Z⁻-i)+2i= i(a-bi-i)+2i = ai+b+1+2i = lZl
Z'nin uzunluğunda i'li bir değer olamayacağı için a=-2 gelir.
b+1 = lzl 'den devam edersek ; b+1 = √a²+b²
iki tarafında karesini alalım ;

(b+1)² = a²+b²
b²+2b+1=a²+b²
2b+1=a²
a=-2 'yi biliyorduk zaten ; 2b+1=4
b=3/2

z=a+bi=-2+(3/2)i
Re(z).Im(z)=a.b=-2.3/2 = -3

C-3)

(1+i)² =2i ve (1-i)² = -2i olduğunu biliyoruz.

P(Z)=P(1+i)=(1+i)³-3(1+i)²+(1+i)
=(1+i)(1+i)²-3(2i)+(1+i)
=(1+i)(2i)-3(2i)+(1+i)
=2i-2-6i+1+i
=-3i-1

P(Zeşlenik)'i bulmamıza gerek yok.Aynı polinom olduğu için , eşleniğini polinomda yerine koyduğumuz zaman , kendisinin eşleniğini verecektir.

Yani ; P(Z)=-3i-1 ise ; P(Zeşlenik)=3i-1 olacaktır. P(z)yi bulurken yaptığımız gibi yerine koyarak bunu kanıtlayabilirsiniz.

P(Z)+P(Zeşlenik)=(-3i-1)+(3i-1)=-2