çarpanlara ayırma

1)
a√a+b√b
________ ifadesinin eşiti nedir? cvp:√a+√b
a+b-√ab
2)a,b∈Z⁺ a-b=15
√a+√b=5 ise 2a-b kaçtır? cvp:31
3)(x/y)+(y/x)=2 ise (7x+3y)/(x+y) oranı kaçtır? cvp:5
4)x.y.z pozitif tamsayılardır. x²-(y+z)²=11 ise xy+xz kaçtır? cvp:30
5)a ve b birer tamsayı
a²-b²=12 ise a+b nin alabileceği kaç farklı tamsayı değeri vardır? cvp:4

C-1
Burada iki küp toplamı özdeşliğini kullanabilirsiniz.
a√a+b√b = (√a)³+(√b)³ = (√a+√b)(a+b-√ab) Bu kesrin pay kısmıdır.
Paydada da a+b-√ab var. Bu ifadeler sadeleşir ve cevabın √a+√b olduğu görülür.

C-2
a-b ifadesini (√a)²-(√b)² şeklinde düşünüyoruz.
(√a)²-(√b)² = (√a-√b)(√a+√b) (İki kare farkı açılımından)
15 = 5(√a-√b) (Soruda verilenler yerine yazıldığında)
√a-√b = 3 √a+√b ve √a-√b ifadelerini taraf tarafa toplarsak: √a=4 ve √b=1 ise a=16 b=1 2a-b= 2.16-1 = 31.

C-4
x²-(y+z)² = (x-y-z)(x+y+z) = 11 (İki kare farkı açılımından)
x-y-z=1 ve x+y+z=11 ise 2x=12 x=6 ve y+z=5
xy+xz = x(y+z) = 6.5 = 30

C-5
a²-b² = (a-b)(a+b) = 12
a+b sayısı 6, 2, -2, -6 değerlerinin alabilir (4 değer).

3)
k=x/y dersek
k+1/k =2 ise k=1 yani x=y
(7x+3y)/( x+y) =10/2 =5 olur

C-3
(x+y)/(y+x) = (x²+y²)/xy = 2 x²+y²-2xy = (x-y)² = 0 ise x-y = 0 x=y
x ve y eşit ise, y gördüğümüz yerlere de x yazalım:
(7x+3y)/(x+y) =10x/2x = 5.