3 polinom sorusu

1.P(x) tam karedir bir polinomun karesidir
P(x)=x⁴+mx³+29x²+nx+4
m ne olabilir (10)

2.P(x) polinomdur
(x² + mx + n).P(x)=x⁴+x²+1
olduguna gore m+n degeri ne olabilir
Cevap 2
3.p(x) polinomdur
P(x-1).p(x+1)=4x-12x+m
P(m) ne olabilir
Cevap 7

C-1)

p(x)=q²(x) olsun.

q(x)=ax²+bx+c

q²(x)=(ax²+bx+c)²=(ax²+(bx+c))²

=a².x⁴+2.(ax²).(bx+c)+(bx+c)²

=>a²x⁴+2abx³+2acx²+b²x²+2bx+c²=x⁴+mx³+29x²+nx+4

bu eşitliği katsayı ilişkilerine göre değerlendirdiğimizde a,b,c,m,n için verebileceğimiz tam sayı değerlerinden bazıları

a=±1 ,b=±5,c=±2,m=±10,n=±10

olur. m=10 olabilir yani.

Not: yazabileceğimi 8 farklı a,b,c,m,n grubu vardır.

C-2)

2.P(x) polinomdur
(x² + mx + n).P(x)=x⁴+x²+1
olduguna gore m+n degeri ne olabilir

p(x)=qx²+px+k olmalıdır.

(x²+mx+n).(qx²+px+k)=qx⁴+px³+kx²+mqx³+mpx²+mxk+nqx²+npx+nk=x⁴+x²+1

qx⁴+x³(p+mq)+x²(k+mp+nq)+x(mk+np)+nk=x⁴+x²+1

q=1,p=-1,k=1,m=1 ve n=1 olabilir. Aslında verebileceğimiz daha çok değer var ama bir önceki sorudaki gibi istenilen bu olduğu için yazdım.

m+n=2 olabilir.

C-3

P(x-1).p(x+1)=4x²-12x+m şeklinde olmalıdır.

p(x)=qx+n şeklindedir.

p(m) soruluyor p(m)=qm+n

p(x-1)=q(x-1)+n=qx-q+n

p(x+1)=q(x+1)+n=qx+q+n

qx+n=k olsun

(k-q).(k+q)=k²-q²=(qx+n)²-q²=q²x²+2qnx+n²-q²=4x²-12x+m

q²=4 ise q=±2

q=2 seçelim. 4nx=-12x ise n=-3 olur. n²-q²=9-4=5=m

p(m)=qm+n=2.5-3=7

Tesekkurler fakat boyle deneyerek ben de cozuyorum zaten. Belki pratik yolu vardir diye sordum

Eşitliği yazdıktan sonra değer vermek zor değil ama başka türlü çözümleri olabilir elbet.Benden bu kadar. Daha iyisini hocalarım bilir çözüm yazan olur büyük ihtimal.
Bu sorular zaten ygs/lys formatında değil (3. soru hariç.). Böyle soru sormazlar.