[jenny]

1) Gülhan'ın iki çocuğundan birisi kızdır. Diğer çocuğun da kız olma olasılığı kaçtır?

a)

1

5

b)

1

4

c)

1

3

d)

1

2

e)

3

4

2) a,b ve c birer doğal sayı olmak üzere, a+b+c≤6 koşulunu sağlayan kaç farklı (a,b,c) üçlüsü vardır?
a)80 b)82 c)84 d)86 e)90


3) Bir düzlemdeki 10 doğrudan 4 ü birbirine paraleldir. Geri kalan doğrulardan herhangi ikisi birbirine paralel olmadığına göre ve herhangi üçü aynı noktadan geçmediğine göre, bu 10 doğru en çok kaç noktada kesişir?
a)36 b)39 c)42 d)42 e)48

4)Bir baloya katılan 6 kişi girişte arabalarının anahtarlarını bırakmıştır. Çıkışta bu 6 kişi rasgele 1 anahtar alırsa herkesin kendi anahtarını almamış olma olasılığı kaçtır?

a)1/7 b) 1/6 c)1/5 d)1/4 e)1/3


5) Bir camiye giren 3 kişi ayakkabılarını girişte bırakıyor.Ayakkabılarını geri alırken herbirine rasgele 2 ayakkabı veriliyor.Herkesin kendine ait olan ayakkabı çiftini almış olma olasılığı nedir?

a) 1/90 b) 1/80 c) 1/70 d) 1/60 e) 1/50

Şimdiden teşekkürler.(Şıklar neden yamuk yazılıyor anlayamadım.)

[Faruk]

1)
1/2 (Çocuk ya kızdır ya da erkek 2 ihtmalden biri olabilir.)

2)
a+b+c≤6
a+b=0, c=0,1,2,3,4,5,6 ise; (a,b,c) 1.7=7 farklı değer alır.
a+b=1, c=0,1,2,3,4,5 ise; (a,b,c) 2.6=12 farklı değer alır.
a+b=2, c=0,1,2,3,4 ise; (a,b,c) 3.5=15 farklı değer alır.
a+b=3, c=0,1,2,3 ise; (a,b,c) 4.4=16 farklı değer alır.
a+b=4, c=0,1,2, ise; (a,b,c) 5.3=15 farklı değer alır.
a+b=5, c=0,1 ise; (a,b,c) 6.2=12 farklı değer alır.
a+b=6, c=0 ise; (a,b,c) 7.1=7 farklı değer alır. Toplamda;
7.2+12.2+15.2+16=84 farklı (a,b,c) üçlüsü vardır.

4)
1. kişinin kendi anahtarını almama olasılığı; 5/6
2. kişinin kendi anahtarını almama olasılığı; 4/5
3. kişinin kendi anahtarını almama olasılığı; 3/4
4. kişinin kendi anahtarını almama olasılığı; 2/3
5. kişinin kendi anahtarını almama olasılığı; 1/2
6. kişinin kendi anahtarını almama olasılığı; 1
Yani kimsenin kendi anahtarını almamış olma olasılığı; 5!/6!=1/6

5)
Toplam 6 tane ayakkabı vardır.
1. kişiye 6 ayakkabıdan 2 tanesi; C(6,2)=15
2. kişiye 4 ayakkabıdan 2 tanesi C(4,2)=6
3. kişiye 2 ayakkabıdan 2 tanesiC(2,2)=1
Herkesin kendi ayakkabısını alması; C(2,2).C(2,2).C(2,2)
1/(15.6.1)=1/90 Namazlarını Allah kabul etsin

[Melek12]

S-2 için alternatif çözüm:

**Özdeş hediye mantığı.

0<a+b+c≤6 olmalı.
a+b+c=6=1+1+1+1+1+1 =>özdeş 6 elma 3 çocuğa 8!/6!.2!=28 farklı şekilde dağıtılır.
a+b+c=5 7!/5!.2!=21
a+b+c=4 6!/4!.2!=15
Daha da devam etmemize gerek yok. Çünkü bir kural yakaladık.
Önce 7 azalıyor sonra 6 sonra 5 sonra 4 azalmalı sonra 3 sonra 2 sonra 1.
Yani;
28+(28-7=21)+(21-6=15)+(15-5=10)+(10-4=6)+(6-3=3)+(3-2=1)=84

C.3

10 doğru birbiriyle c(10,2)=45 noktada kesişir.
4 doğru birbiriyle c(4,2)=6 noktada kesişir. Anca doğrular parelel olduğundan kesişmez. Yani tüm durumdan bu durumu çıkarmalıyız.
45-6=39
Herhangi üçü aynı noktadan geçmiyorsa çıkarılacak başka durum yoktur.
Misal herhangi üçü aynı noktadan geçseydi.
3 nokta C(3,2)=3 noktada kesişir. Ancak 3 doğru 1 noktadna geçtiğinden 2 tanesini çıkarmalıydık.

[Cem1971]

2. sorunun kısa çözümü var!

a+b+c+d=6 (*) dersek,
d=0 için a+b+c=6
d=1 için a+b+c=5
d=2 için a+b+c=4
....
d=6 için a+b+c=0 biçiminde a+b+c≤ 6 eşitsizliği için çözümü vermektedir. Öyleyse (*)'ı doğal sayılarda çözmek soruyu çözmeye eşdeğerdir.

Tekrarlı kombinasyonun sıfırı da barındıran formülü gereği; C(6+4-1,6)=C(9,6)=84 eder.

[Faruk]

2. sorunun kısa çözümü var!

a+b+c+d=6 (*) dersek,
d=0 için a+b+c=6
d=1 için a+b+c=5
d=2 için a+b+c=4
....
d=6 için a+b+c=0 biçiminde a+b+c≤ 6 eşitsizliği için çözümü vermektedir. Öyleyse (*)'ı doğal sayılarda çözmek soruyu çözmeye eşdeğerdir.

Tekrarlı kombinasyonun sıfırı da barındıran formülü gereği; C(6+4-1,6)=C(9,6)=84 eder.

Hocam kusura bakmayın ama biraz daha açık anlatabilir misiniz? (6+4-1,6) kısmını anlayamadım.

[jenny]

4. soru ile ilgili anlayamadığım birşey var 6. kişinin kendi anahtarını almama olasılığı; 1 denilmiş bu durumda kendi anahtarını alma durumu %0 oluyor yani kendi anahtarını alma olasılığı yok. Bana göre önceki 5 kişi kendi anahtarını seçerse 6. kişiye de kendi anahtarı düşebilir. Bu durumda kendi anahtarını alma olasılığı var demekki. nasıl %0 olduğunun mantığını anlayamadım. nerde yanlış düşündüm? Please help
Bir de 2. sorunun kısa çözümünde d nerden geldi ve * sembolü orada hangi anlamda kullanılmış anlayamadım hocam açıklayabilir misiniz?

[gereksizyorumcu]

4. sorunun yanlış çözüldüğünü hatta soruyu üretenin de seçenekleri yanlış verdiğini düşünüyorum. muhtemelen istenen cevap 1/6 dır.

[jenny]

Evet 4. sorunun cevabı 1/6 olarak verilmiş ama çözümünü anlamadım. Bir de 1. soruyu ben de 1/2 olarak düşündüm ama cevap anahtarı 1/3 olarak göstermiş o yüzden soruyu sordum.

[gereksizyorumcu]

1. soruda çocuklardan birinin kız olduğu söylenmiş.
EK , KE , KK gibi 3 durum vardır, bunlardan yalnız bir tanesinde diğer çocuk kız.
cevap 1/3

bu soruda çocukların kız ya da erkek olma ihtimalleri yine %50
mesela "büyük çocuğun kız olduğu bilindiğine göre küçük çocuğun kız olma ihtimali nedir?"
şeklinde sorulmuş olsa cevap sizin dedğiniz gibi 1/2 olurdu.

[Cem1971]

(*) ile a+b+c+d=6'yı kastediyorum. Matematik metni okuma beceriniz zayıf sanırım. d olsun dedim, d'yi ben ekledim. Spruyu öylelikle basite ircâ ediyorum.
x₁+x₂+...+x_n=r ise sıfırılı çözümü veren tekrarlı kombinasyon formülü C(n+r-1,r)'dir.

4. soru bir "kaos düzeni" sorusu, altfaktoriyel (!n) formülü ile çözülür. Yâni dâhiliyet-hâriciyet prensibi: !6/6! 'dir sonuç.

!6/6!=720(1-1+ 1/2 -1/6 + 1/24 -1/120 +1/720) /720 = 53/144 eder.

Formül:
!n = n!. ∑ (-1)^r/r! (r=0 to n)