[YlLMAZ]

1) a≠b için ((a²+3ab+b²)/b²)=5 eşitliğine göre a nın b cinsinden değeri kaçtır?

2) ((x²-13)/(x-4))+((3)/(4-x))-((7)) ifadesinin en sade hali nedir?

3) 9x²+y²-6x+4y+k toplamının en küçük değerinin 10 olması için k kaç olmalıdır?

4) x+(1/x)=-1 olmak üzere, x²⁰⁰⁷ +( 1/x²⁰⁰⁷) ifadesinin değeri kaçtır?

5) ((x^-2+x)/(x^-2-x^-1+1)) ifadesinin sadeleşmiş biçimi nedir?

[mathematics21]

1.

a²+3ab+b²=5b²
a²+3ab-4b²=0
(a-b)(a+4b)=0
a≠b olduğu için a+4b=0 ve a=-4b olur.

[mathematics21]

2.

x²-13

x-4

+

3

4-x

-7=

x²-13

x-4

-

3

x-4

-7=

x²-16

x-4

-7=

(x-4)(x+4)

x-4

-7=x+4-7=x-3.

[mathematics21]

3.

9x²-6x+y²+4y+k = (3x-1)²-1+(y+2)²-4+k = (3x-1)²+(y+2)²+k-5 ifadesinin en küçük değeri k-5'tir.
Bu değerin 10 olması için k=15 olmalıdır.

[mathematics21]

4. Her n pozitif tam sayısı için f(n)=xⁿ+x^-n olsun. Verilen x+1/x=-1 ifadesinden f(1)=-1 elde edilir. Verilen ifadenin karesi alınırsa x²+2+x^-2=1 ve buradan da f(2)=-1 bulunur.

Öte yandan
f(n).f(1)=(xⁿ+x^-n)(x+x^-1)=xⁿ⁺¹+x^n-1+x^-n+1+x^-n-1 = xⁿ⁺¹+x^-(n+1)+x^n-1+x^-(n-1)=f(n+1)-f(n-1)
dir. f(1)=-1 olduğu için son ifadeden
f(n+1)=-f(n)-f(n-1) elde edilir.

Şimdi son ifadeden

n=2 için f(3)=-f(2)-f(1)=2,
n=3 için f(4)=-f(3)-f(2)=-1,
n=4 için f(5)=-f(4)-f(3)=-1,
n=5 için f(6)=-f(5)-f(4)=2, ...

elde edilir. Bu dizilim -1, -1, 2, -1, -1, 2, ... şeklinde devam eder. Daha açık bir ifadeyle n sayısı 3'ün tam katı ise f(n)=2 ve diğer n pozitif tam sayıları için f(n)=-1 dir. 2007 sayısı 3 ile tam bölündüğü için f(2007)=2'dir.


Alternatif olarak:

x+x^-1=-1 ........... (1)
(1) ifadesinin karesi alınırsa
x²+x^-2=-1 ........... (2)
(1) ve (2) ifadeleri taraf tarafa çarpılırsa
x³+x^-1+x+x^-3=1 ve buradan da
x³+x^-3=2 ..........(3)
elde edilir. (1) ve (3) taraf tarafa çarpılırsa
x⁴+x^-2+x²+x^-4=-1 ve buradan da
x⁴+x^-4=-1 ..........(4)
elde edilir. Bu şekilde devam edilirse x²⁰⁰⁷+x^-2007=2 bulunur.

Alternatif II:

x+1/x=-1 ifadesinden x²=-x-1 elde edilir. Bu ifadeyi x ile çarparsak x³=-x²-x=-(-x-1)-x=1 bulunur.
Bu ifadenin her tarafının 669. kuvveti alırsa x²⁰⁰⁷=1 olur. Buradan bizden istenen toplam 2 çıkar.

[mathematics21]

5. Verilen ifadenin pay ve paydasını x² ile çarparsak

1+x³

1-x+x²

=

(1+x)(1-x+x²)

1-x+x²

=1+x

elde edilir.

[YlLMAZ]

Teşekkürler

[Serkan A.]

Elinize sağlık hocam.