Bir mail grubuna aboneyim. Matematik üzerine tartışmalar yapılan bir mail grubu. Oradaki tartışmadan bir alıntı yapacağım. Bu alıntılar sonrasında bizde görüşlerimizi yazalım.
Ayrıca sitemizdeki bu yazıda konu ile alakalıdır.
Kişi1: Bir arkadaşım, 1 üzeri sonsuzun neden belirsiz olduğu sorusunu yöneltti.
.....................................
.....................................
Kişi2: Sunu deneyebilirsiniz:
(0.9999....9)^n ifadesi, n sonsuza giderken sifira yaklasir.
(1.000....001)^n ifadesi ise, n sonsuza giderken sonsuza iraksar.
Bu nedenle, 1^n ifadesinin n sonsuza giderken ne olacagi belirsizdir.
(0.9999....9)^n ifadesi, n sonsuza giderken sifira yaklasir.
(1.000....001)^n ifadesi ise, n sonsuza giderken sonsuza iraksar.
Bu nedenle, 1^n ifadesinin n sonsuza giderken ne olacagi belirsizdir.
Kişi3:
Mesela (1+1/n)^n dizisinin limiti 2'den buyuk olan e sayisidir ve (1-1/n)^n dizisinin limiti ise 1/e'dir.
Ama 1 + 1/n dizisi de 1 - 1/n dizisi de 1'e gider.
Yani x_n dizisi 1'e, y_n dizisi de sonsuza gidiyorsa, x_n^{y_n} dizisinin sabit bir limiti yoktur.
Bu da 1 uzeri sonsuz tanimsiz olmali demektir.
Mesela (1+1/n)^n dizisinin limiti 2'den buyuk olan e sayisidir ve (1-1/n)^n dizisinin limiti ise 1/e'dir.
Ama 1 + 1/n dizisi de 1 - 1/n dizisi de 1'e gider.
Yani x_n dizisi 1'e, y_n dizisi de sonsuza gidiyorsa, x_n^{y_n} dizisinin sabit bir limiti yoktur.
Bu da 1 uzeri sonsuz tanimsiz olmali demektir.
Kişi4:
Ama hocam bu kesinlikle sezgiye karşı ve tam olarak inandırıcı bir argüman da yok gibi.
Neden 1 olarak kabul etmiyoruz basitçe?
Bir yerlerde sorun mu çıkartıyor?
Ama hocam bu kesinlikle sezgiye karşı ve tam olarak inandırıcı bir argüman da yok gibi.
Neden 1 olarak kabul etmiyoruz basitçe?
Bir yerlerde sorun mu çıkartıyor?
Kişi5:
Anladığım kadarıyla ....'a soruyu soran kişi 1'in kendisiyle sonsuz sayıda çarpımını sormuş.
Bu işlemin sonucu 1'dir bence. anlam kargaşası bence şurdan çıkıyor: (1+1/n)^n dizisinin limiti e'dir ve ortada bir belirsizlik yok.
lise kitaplarında bu durum 1 üzeri sonsuz belirsizliği diye veriliyor.öğrencilere de öğretmenler genelde bu şekilde anlatıyor.
Bu karmaşayı önlemek için dersine girdiğim sınıflarda artık euler teoremi diye veriyorum.örneğin,
bölme konusunu anlatırken '' 0/0 nedir? '' diye sorduğumda öğrenciler ''belirsiz'' diye cevap veriyor.
(MD'de asallar ve indirgenemezler isimli kapak konusunda çok güzel açıklanmış 0/0 diye bir sayının olmadığı.) yine lise kitaplarında limit konusunda
lim(x, 1'e yaklaşırken( x^2-1)/(x-1) ifadesi için 0/0 belirsizliği deniyor.çünkü x yerine 1 koyarak çözünce ortaya bu saçmalık çıkıyor.
Anladığım kadarıyla ....'a soruyu soran kişi 1'in kendisiyle sonsuz sayıda çarpımını sormuş.
Bu işlemin sonucu 1'dir bence. anlam kargaşası bence şurdan çıkıyor: (1+1/n)^n dizisinin limiti e'dir ve ortada bir belirsizlik yok.
lise kitaplarında bu durum 1 üzeri sonsuz belirsizliği diye veriliyor.öğrencilere de öğretmenler genelde bu şekilde anlatıyor.
Bu karmaşayı önlemek için dersine girdiğim sınıflarda artık euler teoremi diye veriyorum.örneğin,
bölme konusunu anlatırken '' 0/0 nedir? '' diye sorduğumda öğrenciler ''belirsiz'' diye cevap veriyor.
(MD'de asallar ve indirgenemezler isimli kapak konusunda çok güzel açıklanmış 0/0 diye bir sayının olmadığı.) yine lise kitaplarında limit konusunda
lim(x, 1'e yaklaşırken( x^2-1)/(x-1) ifadesi için 0/0 belirsizliği deniyor.çünkü x yerine 1 koyarak çözünce ortaya bu saçmalık çıkıyor.
Kişi2:
Tabi bu sekilde anlatmayin. Zira 1^n ifadesi n sonsuza giderken 1'e
yakinsar. Zaten sabit dizidir bu.
Tabi bu sekilde anlatmayin. Zira 1^n ifadesi n sonsuza giderken 1'e
yakinsar. Zaten sabit dizidir bu.
Kişi6: Bu belirsiz ve tanımsız kavramları Türkçe kaynaklarda sıkça karıştırılan
bir durum. MD gibi özenli yazılan kaynaklar sayesinde bir zaman sonra bu
kargaşa giderilir umarım. Esasında sorun biraz yanlış adlandırmadan
kaynaklanıyor.
1 üzeri sonsuz belirsizliği ile kastedilen şu aslında: (a_n) ve (b_n) iki
reel sayı dizisi olmak üzere, (a_n) dizisi 1 e ve (b_n) dizisi sonsuza
yaklaşıyorsa (a_n)^(b_n) dizisinin limiti hakkında bir belirsizlik söz
konusu. Çünkü bu limit sonlu, sonsuz olabilir ya da hiç olmayabilir. Ancak
bu isimlendirme iyi değil, çünkü sanki 1^n dizisinin limiti gibi
algılanıyor.
Diğer belirsizliklerde de benzer yanlış adlandırmalar söz konusu.
Ancak bahsettiğim belirsizlik reel sayılar kümesi söz konusu olduğunda
geçerli. Genişletilmiş reel sayılar R U {sonsuz} için durumun nasıl
anlaşılması gerektiğini Ali Nesin'in birkaç mail önce yorumlamıştı.
bir durum. MD gibi özenli yazılan kaynaklar sayesinde bir zaman sonra bu
kargaşa giderilir umarım. Esasında sorun biraz yanlış adlandırmadan
kaynaklanıyor.
1 üzeri sonsuz belirsizliği ile kastedilen şu aslında: (a_n) ve (b_n) iki
reel sayı dizisi olmak üzere, (a_n) dizisi 1 e ve (b_n) dizisi sonsuza
yaklaşıyorsa (a_n)^(b_n) dizisinin limiti hakkında bir belirsizlik söz
konusu. Çünkü bu limit sonlu, sonsuz olabilir ya da hiç olmayabilir. Ancak
bu isimlendirme iyi değil, çünkü sanki 1^n dizisinin limiti gibi
algılanıyor.
Diğer belirsizliklerde de benzer yanlış adlandırmalar söz konusu.
Ancak bahsettiğim belirsizlik reel sayılar kümesi söz konusu olduğunda
geçerli. Genişletilmiş reel sayılar R U {sonsuz} için durumun nasıl
anlaşılması gerektiğini Ali Nesin'in birkaç mail önce yorumlamıştı.
Hocam . Sonsuz un belirsiz olduğunu düşünürsek (ki öyle . Çünkü sonsuz , bir sayı değildir ) 1 üzeri belirsiz olduğu için sonuç belirsizdir ? Çünkü sonsuz artabilir de azalabilirde ?
MatematikciFM 03:48 21 Mar 2012 #3
Sitedeki makalede yapılan ispata bakılırsa, 1∞ un belirsiz olmasının nedeni, bütün sayıların 0. kuvvetinin 1 olması.
kırmızı gece 14:53 21 Mar 2012 #4
ben pek anlamam
beni aşıyor bu
ama şöyle düşündüm
sonsuz denen şeyin kendisi zaten muğlak değil mi? yani nedir sonsuz? somut değil 1111...............
somut olmayan bir şeyle işleme giren somut birşeyden somut bir şey çıkmaz herhalde
örneğin
5.∞=∞ yine belirsiz olmazmı,
yani bilmiyorum
beni aşıyor bu
ama şöyle düşündüm
sonsuz denen şeyin kendisi zaten muğlak değil mi? yani nedir sonsuz? somut değil 1111...............
somut olmayan bir şeyle işleme giren somut birşeyden somut bir şey çıkmaz herhalde
örneğin
5.∞=∞ yine belirsiz olmazmı,
yani bilmiyorum