5 Tane Sayma Sorusu

1.Bir çocuk 10 basamaklı bir merdiveni her adımda 1 ya da 2 basamak çıkarak kaç değişik şekilde çıkabilir?


2.Bir bakterinin çoğalması incelenmektedir. Her bakteri saatte bir kez bölünüp yeni bir bakteri oluşturmaktadır. Her yeni bakteri de 1 saatte olgunlaştıktan sonra (ilk saat bölünmüyor) ilk bakteri gibi bölünmeye başlamaktadır. Başlangıçta 1 olgun bakteri ile işe başlanırsa 10 saat sonunda mikroskobumuzda kaç bakteri gözlemleriz?
Not:Bölünme sonrası oluşan 2 bakteriden sadece birisi olgunlaşmak için 1 saat bekleyecektir diğeri normal bölünmesine devam edecektir.


3.Sadece 1 ve 0 lardan oluşan ve 2 tane 0 ın yan yana gelmediği kaç tane 10 basamaklı sayı yazılabilir?
Ör: 1101011110 , 1111111111
Dikkat: 0101110101 sayısı 10 değil 9 basamaklıdır


4.2x10 büyüklüğünde bir tahta 2x1 büyüklüğündeki dominolarla, dominoları kesmemek ve üst üste getirmemek şartıyla, kaç değişik şekilde kaplanabilir?
Ör:
https://www.matematiktutkusu.com/for...usu2x10boa.jpg

5.Herbirinin içine 1 tane balon bağlanmış 10 tane kutu yan yana dizilmiştir. Her balonun ipi en fazla bir yanındaki kutuya yetişmektedir. Balonlar her kutuda 1 balon olmak şartıyla bu 10 kutuya yerleştirilip kutuların kapakları kapatılacaktır. Bu işlem kaç değişik şekilde yapılabilir?

Bu sorulara hiç dokunan olmadı mı?
Hepsi de aynı sorunun farklı şekillerde ifade edilmiş hali olduğu için paylaşayım demiştim. Kısaca hepsinin çözümü ve cevabı aynı. Belki şimdi bazı arkadaşlarımızın ilgisini çeker, ufak bir dönem ödevi bile çıkar bu sorulardan :)

vallaha hocam bende anlamadım. millet üye oluyor ama niye üye oluyor. indirme dosylarının çoğunu üyeliksiz indirebiliyorlar. çok azını indirebilmek için üyelik gerekiyor. 130 kişi üye olmuş mesaj yazan 20 kişiyi geçmez.

admin haklısın.
permütasyon -kombinasyon konularında iyi değilimdir. dokunmak isterim ama :)

3.14159265358979323846264'den alıntı:

admin haklısın.
permütasyon -kombinasyon konularında iyi değilimdir. dokunmak isterim ama :)

peki ipucu veriyorum,
1. soru için (5 sorunun da aynı olduğunu söylemiştim) çocuk son adımında 1 basamak çıkar ya da 2 basamak çıkar. Bu 2 durum birbirinden ayrıktır , ayrı ayrı sayılıp toplansa sonuç tüm durumları vemelidir.

ipucu için teşekürler emin olmamakla beraber 1.sorunun cevabı 10757 mi?

1. soru için çözüm yazayım diğerleri için açık bırakayım siz yazarsınız.

f(i) ile i basamaklı bir merdiveni her adımda 1 veya 2 basamak atarak çıkışların sayısını gösterelim.
Bu durumda i. basamağa ulaşan son adım ya 1 basamak atlayan ya da 2 basamak atlayan bir adımdır. Eğer 1 basamak atlayan bir adımsa (i-1). basamaktan geliyordur, eğer 2 basamak atlayan bir adımsa (i-2). basamaktan geliyordur.
bu 2 durum birbirinden ayrık olduğunda ve i. basamağa ulaşan tüm durumları kapsadığından bu iki durumun toplamı f(i) yi verir.
tanım gereği (i-1). basamağa çıkışların sayısı f(i-1) ve (i-2). basamağa çıkışların sayısı da f(i-2) olduğunan

f(i)=f(i-1)+f(i-2) ilişkisini bulmuş oluruz
i sayısı için bir kısıtlama getirmedğimizden bu ilişki i>2 her i için doğrudur.
i=1 ise çok açıktır ki tek adım atıp bir şekilde yukarı çıkılır f(1)=1
i=2 ise ya 1+1 ya da direkt 2 adım atılıp yukarı çıkılacağından f(2)=2
f(3)=f(2)+f(1)=3
f(4)=f(3)+f(2)=5
...
f(10)=89 şekilde 10 basamaklı merdiven çıkılabilir.

görüldüğü gibi f(i) ler indisleri 1 kaymış fibonacci dizisidir.

Bu sorunun cevabı galiba 124 çıkıyor.
10 basamak=10 tane 1 basamak: 1
10 basamak=8 tane 1 basamak+1 tane 2 basamak : 9!/8!=9
10 basamak=6 tane 1 basamak+2 tane 2 basamak : 8!/6!.2!=28
10 basamak=4 tane 1 basamak+3 tane 2 basamak : 7!/4!.3!=70
10 basamak=2 tane 1 basamak+4 tane 2 basamak : 6!/4!.2!=15
10 basamak=5 tane 2 basamak :1
1+9+28+70+15+1=124

7!/4!.3! = 70 kısmı gözünüzden kaçmış cevabı 35 derseniz sonuç 89 olur

Sayın paradoks12 haklısınız. Yine dikkatsizlik yaptım. Teşekkür ediyorum. Buradan şu sonuç çıkıyor. Bu tür sorular da hem kombinasyonla hem de fibonacci dizisiyle yapabiliyoruz.

Bu arada 2. soruda bir hata mı var? Ayrıca 5. sorudan hiçbirşey anlamadım.

çok güzel sorular hazırlayanın ellerine sağlık ilk dört soruya şöyle bir göz atınca hepsinin fibonacci sayıları ile çözüldüğünü gördüm, mesela domino sorusunda ilk terim için boyu 2 ye 1 olan oluşturmak için tek seçenek, 2. terim için 2ye2 lik alan oluşturmak için iki domino üst üste yada alt alta olmak üzere 2 farklı şekilde dizilir... böyle kademeli olarak boyu 2ye10 olana kadar uzatılır. ve fibonaccinin 10 terimi, ( aslında gerçek fibonacci serisine göre 9 terim oluyor) bulunur.

sadece bende 5 soruyu kafamda canlandırma konusunda zorluk çektim, tam olarak ne denmek isteniyor anlamış değilim

ikinci soru fibonacci sayılarının üretim aşamasına çok benziyor, fibonacci sayıları bildiğiniz gibi tavşan sorusundan geliyor, orada yeni doğan tavşanlar doğum yapmak için 1 aylık yetişkin olma süresi geçiriyordu, tek fark olgun bakteriyle başlanması, o yüzden ilk iki terimi gene diğer sorularda olduğu gibi, 1,2 oluyor fibonaccide yavru tavşanla başlandığı için ilk iki terim 1,1 oluyordu

5 soruyuda şimdi anladım soruya gene kademeli olarak yaklaşacağız, birimden bütüne;
1. terim: kutu sayısı 1 olsun----- 1 ihtimal var
2. terim: kutu saysı 2 olsun---- 2 ihtimal var bunlarda şöyledir, birinci durum; 1. balaon 1. kutuda 2 balon 2. kutuda ve ikinci durum;1. balonun ipi ikinci kutuya yetişebildiği için 1. balonu ikinci kutuyada koyabiliriz:)
3. terim: 3 durum var, 2. balonun yerine göre 2. balon 1de, 2de yada 3de olur, 1 ve 3 balonlarda 2. balonun durumuna göre boş kalan kendi kutuları yada komşu kutuları almak zorunda kalır,
ve böyle gidir işte:)
gene fibonacciye göre 10 terimi buluruz (tabi gene bir adım kaymış hali) buluruz

soruların çözümleri genel olarak aynı olduğu için ve örnek çözüm verildiği için çok fazla detaya girmedim

Öğretmenim, Ben 2 ve 5. soruyu yine tam anlayamadım. 5. soruda, balonların ipi en fazla yandaki kutuya yetişecek uzunlukta diyor ve her bir kutuya 1 balon konuluyor. Kutular da sıra halinde yanyana dizilmiş. 2. balon 1. kutuya konursa, 1. veya 3. balon 2. kutuya konulabilir, diğer balon dışarda kalır. Yani kutular 1-2-3 şeklinde yanyana dizilmişken 2. balonu 1. kutuya koyduğunuzda sadece 2. kutunun içine balon koyabilirsiniz. 3. kutuya balon koyamazsınız. Ayrıca, sorunun başında zaten herbir kutunun içinde bir balonun bağlı olduğunu söylüyor. Neyin durumu inceleniyor hala anlamış değilim.
Bakteri sorusunun bir benzerini daha önceden çözmüştüm ama burada notta yeni bakterilerden biri olgunlaşmak için beklerken diğeri bölünmesine devam ediyor diyor. Yeni doğan bir bakteri hiç beklemeden bölünürse, yeni oluşan bakterilerden biri beklerken diğeri yine bölünecek ve bu iş sonsuza gidecek. Ben nereyi yanlış anlıyorum yardımcı olur musunuz?

Geldim
önce 5. soru için ufak bir açıklama yapayım soru işareti kalmasın
yanyana 10 tane kutu olduğunu varsayıyoyoruz. koli gibi birbirlerine tema ediyo olsunlar kapakları açık ve tabnlarının ortasından bir iple uçan balon bağlanmış. her koliye en fazla bir balon sığabiliyor ve her balonun ipi de ancak bir yandaki kutuya yetişebilecek uzunlukta. bu baonlar kolilere koyulup kapakları kapatılacak. bu işlemi kaç değişik şekilde yapabiliriz onu soruyor.

2. soruda bir saat gecikmeli olarak bölünmeye başlıyorlar yani herhangi bir andaki bakterilere bakarsan onların bir kısmı geçen saat oluştuğu için henüz üreyemeyecek durumda bir kımı ise en az 1 saat önce oluştuğu için üremekte. hocamızın da dediği gibi fibonacci terimlerinin birebir üretiminin soruya dönüşmüş hali :)

olgun bakteriyle başlanması gibi bazı teknik aksaklıkların nedeni de tüm soruların cevaplarını aynı yapabilmekti.

1.balon a, 2. balon b, 3 balon c olsun; yanyana dizilimler şöyle olur;
abc--- her balon kendi kutusunda
bac--- 1 ve 2 yer değiştrimiş, ipte buna müsait
acb--- 2 ve 3 yer değiştirmiş, 1 kendi kutusunda olmak üzere üç farklı yerleştirme var

kafanızda canlanması için ortalarda bir kutu düşünün bir iple kutunun dibine sabitlenmiş, ama ip birazcık uzun olduğu için balonun ipini koparmadan balonu dışarı taşıya biliyoruz, nereye kadar? komşusu olan kutuya kadar taşıyabiliyoruz, diğer kutulara taşımak için ip kısa geliyor,

şimdi bu koşul göz önünde bulundurulursa herhangi bir balon ya kendi kutusuna konacak ya da sağ ve solundaki komşusu olan kutulara konacaktır, komşunun kutusuna konunca komşusuda mecburen onun kutusuna geçmek zorunda kalacaktır

bir soruda benden:) bir önceki mesajıma bakarak '' balon'' kelimesini kaç farklı şekilde yazabileceğimi bulabilirmisiniz?
kusura bakmayın istemeden oldu

Öğretmenim sizi uğraştırıyorum ama ben yine söylediklerimde ısrarcıyım. Sizin de söylediğiniz gibi balonlar zaten bağlı daha neyin durumu inceleniyor? Öğretmenim sorunun aslını tekrar okursanız kolilerin sıra halinde yanyana dizildiği söylenmiş Sizin çözümünüzün doğru olabilmesi için 1 koli ile 3. kolinin yanyana olması gerekir yani bir daire biçiminde yanlış mı anlıyorum? Bakterilerde ise, farklı zamalarda oluşan bakterileri karşılaştırmıyoruz. Herhangi bir bakteri bölününce ortaya iki bakteri çıkyor. Birisi bekleme sürecine girerken diğeri beklemeden üremesine devam ediyor diyor. (Ben demiyorum. Notta diyor. Yanlış mı yorumluyorum?)

paradoks12 öğretmenim, bir önceki yorumumu sizin son son yorumunuzdan önce yollamıştım. gereksizyorumcunun yaptığı yorum kafama yatmamıştı. Son yorumunuzdan galiba anladım. Ama bakteri konusu hala sıkıntılı.

Öğretmenim yine olmadı. Kafam karıştı. Özellikle 1. ve sonuncu kutu işi bozuyor gibi. Kafamda şekillendiremiyorum. Ayrıca ben şu fibonacci dizisinin sorularla bağlantısını hala tam olarak kurabilmiş değilim. Eski kafalı olduğum için permütasyon- kombinasyondan başkasına kafam ermiyor.

MatematikciFM'den alıntı:

Öğretmenim sizi uğraştırıyorum ama ben yine söylediklerimde ısrarcıyım. Sizin de söylediğiniz gibi balonlar zaten bağlı daha neyin durumu inceleniyor? Öğretmenim sorunun aslını tekrar okursanız kolilerin sıra halinde yanyana dizildiği söylenmiş Sizin çözümünüzün doğru olabilmesi için 1 koli ile 3. kolinin yanyana olması gerekir yani bir daire biçiminde yanlış mı anlıyorum? Bakterilerde ise, farklı zamalarda oluşan bakterileri karşılaştırmıyoruz. Herhangi bir bakteri bölününce ortaya iki bakteri çıkyor. Birisi bekleme sürecine girerken diğeri beklemeden üremesine devam ediyor diyor. (Ben demiyorum. Notta diyor. Yanlış mı yorumluyorum?)

balonlar bağlı ama ipleri bir yandaki kutuya koymamıza yetecek kadar uzun yani her balon kendi kutusuna koyulmak zorunda değil. 1. ile 10. kutunun da komşu olması gerekliliğine gelirsek o daha zor bir soru olurdu heralde (bakmak lazım)

bakterilrin üremesi durmuysa evet bir bakteri bölününce ana bakteri üremeye devamediyor ama yeni oluşan yavru bakteri 1 saat olgunlaşma süreci geçiriyor. (kabul hangisi yeni sonuçta bölünüyor birbirinin aynısı 2 tahne oluşuyor diyebilisiniz ama soru işte :) )

fibonaccinin balon sorusuyla bağlantısını kısaca açıklamaya çalışalım;
f_k k tane kutu ve k tane balonun bu kutulara yerleştirilmelerinin sayısı olsun

şimdi bizim sorumuzda 10. kutu ve balona bakalım
a)10. balon kendi kutusuna koyulursa geriye 9 balon ve 9 tane kendi kutusu kalır
bu tür duumların sayısı = f₉
b)10. balon 9. kutuya da koyulabilir
bu durumda 9. balon 10. kutuya koyulmak zorundadı çünkü aksi takdirde tüm balonlar kutulara yerleştirilemez.
8 balon ve kutu kalmıştır bu durumarınsayısı f₈

10. balon için başka durum olmadığına ve a) ile b) deki durumlar da ayrık olduğuna göre
f₁₀=f₉+f₈

benzer inceleme 9 balon ve kutu için yapılırsa
f₉=f₈+f₇ gibi f_n ler arasında fibonacci ilişkisi olduğu bulunur.

bizim için gerekli tek şey
f₁ve f₂ yi belirlemektir. onu da zaten sayıp bulabiliriz
f₁=1
f₂=2

Sayın gereksizyorumcu, daha önceden dediğim gibi, ben bakteri sorusunu daha önceden çözmüştüm ama burada sanki biraz mantık hatası var gibi geliyor bana. Orayı aşamadığım için soruya yoğunlaşamıyorum. Balon sorusunun mantığını nihayet tam olarak çözdüm ama bu sefer de fibonacciye takıldı kafam. Sayılar tutuyor ama aralarındaki ilşkiyi kuramadım. Yine daha önceden dediğim gibi siz fibonacci tekniğini çok iyi kavramışsınız. Ben yeni tanışıyorum. Bir ara sizden fibonacci ile ilgili şöyle okkalı bir yorum bekliyorum. Özellikle hangi tür sorular fibonacci tekniği ile çözülebilir. Gene belirtmiştim. Siz bu soruların çözümünde fibonacciyi ön plana çıkarıyorsunuz. Ben permütasyon-kombinasyon yolu ile çözmeye çalışıyorum. Şimdilik sadece 1. soruyu çözdüm. Yani 1. soru için 2 farklı çözüm ortaya çıkarmış olduk. Eminim diğer sorular için de alternatif bir çözüm vardır. Eğer fibonacciyi kafama yatırabilirsem, bundan sonra o tekniği de alternatif teknik olarak kullanmak isterim.

Sayon gereksizyorumcu, özellikle şu ayrıklık olayı bir, bir de f(10)=f(9)+f(8) toplamı kafama yatmıyor. Sözlü olarak ifade edildiğinde mantıklı gibi geliyor ama işleme dökünce ters geliyor bana. Yani 10 balonun yerleştirme sayısının 9 balon+ 8 balon yerleştirmesi nin mantığını çözemedim. Sayı olarak tutuyor gibi ama ilişkiyi kuramayınca benim kafama yatmıyor.

Hocam her soruyu permutasyon-kombinasyonla çözebilirsiniz sadece o yol uzun olur. mesela 100 basamaklı bir merdiveni çıkma durumlarını parça parça ayııp çözmek bir insan için imkan dahilinde değildir sanırım.

fiboncci tekniği değil de rekürans bağıntı ya da rekürans diziler diyelim. problemin bir sonraki adımında oluşan durumların sayısı kendinden daha ufak ya da önceki adımlarda oluşan durum sayısıyla ilişkiliyse sorunun çözümünde bir rekürans bağıntı kullanmamız işimizi kolaylaştıracaktır. bu soruların oluşturulmasında fibonacciye benzemesi istenmiş o yüzden öyle sayılar verilmiş ama mesela ilk soru için denseydi ki çocuk 1-2 ya da 3 basamak çıkabiliyor artık soru fibonacci olmazdı
f_n=f_n-1+f_n-2+f_n-3 bağıntısı oluşurdu.

ya da ne bileyim bakteri her seferinde 2 ye değilde 3 e bölünseydi ve yavrular yine 1 saat bekleseydi
f_n=f_n-1+2.f_n-2 bağıntısı oluşudu bunu çözümlemek gerekirdi

MatematikciFM'den alıntı:

Sayon gereksizyorumcu, özellikle şu ayrıklık olayı bir, bir de f(10)=f(9)+f(8) toplamı kafama yatmıyor. Sözlü olarak ifade edildiğinde mantıklı gibi geliyor ama işleme dökünce ters geliyor bana. Yani 10 balonun yerleştirme sayısının 9 balon+ 8 balon yerleştirmesi nin mantığını çözemedim. Sayı olarak tutuyor gibi ama ilişkiyi kuramayınca benim kafama yatmıyor.

gereksizyorumcu'den alıntı:

şimdi bizim sorumuzda 10. kutu ve balona bakalım
a)10. balon kendi kutusuna koyulursa geriye 9 balon ve 9 tane kendi kutusu kalır
bu tür duumların sayısı = f₉
b)10. balon 9. kutuya da koyulabilir
bu durumda 9. balon 10. kutuya koyulmak zorundadı çünkü aksi takdirde tüm balonlar kutulara yerleştirilemez.
8 balon ve kutu kalmıştır bu durumarınsayısı f₈

10. balon için başka durum olmadığına ve a) ile b) deki durumlar da ayrık olduğuna göre
f₁₀=f₉+f₈

10. balon için tüm durumları inceleyip sayılarını topluyoruz.

Zamanla anlamayı umuyorum. Size bir şey diyim mi ? Üniversitede fibonacciyle aramın iyi olduğunu hatırladım. 14 sene geçti aradan hepsini unutmuşum. Nasıl bir unutmaysa, yeniden kafama yerleştirmek için nerdeyse beyin kanaması geçiricem.

Eğer fibonacciyi kafama yatırabilirsem size bir teşekkür borcum olacak. Bunca yıldan sonra bu konuyu yeniden karşıma çıkardığınız için.

Sayın paradoks12, sizin şu balon sorusuna gelince cevap galiba 1+2+3+5+8=19 oluyor. Eğer doğruysa soruyu anladığımı zannetmeyin. Siz ve gereksizyorumcudan kopya çektim.

fibonacci sayıları leonardo fibonaccinin sorduğu tavşan sorusuyla ortaya çıkmıştır,

Tavşan Problemi

“Dört yanı duvarlarla çevrili bir yere bir çift tavşan konmuştur. Her çift tavşanın bir ay içinde yeni bir çift tavşan yavruladığı, her yeni çiftin de erginleşmesi için bir ay gerektiği ve tavşanların ölmediği varsayılırsa, 100 ay sonunda dört duvarın arasında kaç çift tavşan olur?” Bu şekilde düşünüldüğü takdirde tavşan çiftleri aylara göre şu sıralamayı ortaya koymaktadır: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,... Görüldüğü gibi ilk iki sayı hariç, her sayı kendisinden önce gelen iki sayının toplamına eşittir.
http://pic1.resimupload.com/r8/thumb_881489508.JPG

yavru tavşanları küçük, yetişkinleri ise büyük çizdim, birde hangi tavşanın nerden geldiğini göstermek için kırmızı çizgileri takip edebilirsiniz. yeni doğan yavru tavşanlarıda hangi tavşan çiftinden doğmuşsa gene o tavşan çiftine kırmızı çizgilerle bağladım, tabloyu bu şekilde istediğiniz kadar uzatın hep fibonaci serisinin elemanları şeklinde ilerletebilirsiniz, ben 8 çift tavşan üretene kadar uzattım

Öğretmenim teşekkür edrim, anlamayolunda bir adım daha ilerledim. Bu hızla, 20 sene sonra anlıycam galiba. Bu arada verdiğim cevap doğru mu?

Öğretmenim tekrar teşekkür ederim. Ben o resmi alıntı zannetmiştim. Meğer sizin emeğinizmiş. Zahmet verdim size.

1,2,3,5,8, sayılarına şöyle bakmanız daha çok yardımcı olacaktır.

1 kutu olsaydı: 1farklı şekilde balonu kutuya yerleştirebilirdik ( o da kendi kutusuna yerleştirildiği durum)
2 kutu olsaydı: 2farklı şekilde yerleştirebilirdik ( ya her balon kendi kutusunda yada birbirlerinin kutusunda)
3 kutu olsaydı: 3 farklı şekilde yerleşebilirlerdi ( bu durumu daha önceki mesajda balonlara harf vererek yapmıştım, abc, acb ve bac olmak üzere 3 şekilde olur.
4 kutu olsaydı:5 farklı şekilde yerleştirebilirdik (4 balonumuz a,b,c,d olsun; abcd, bacd,acbd,abdc ve badc olmak üzere 5 durum var.
5 kutu olsaydı: uzatmadan 8 olduğunu söyleyebilirim(önceki iki adımın toplamı), tek tek yazmama gerek yok,...
.
.
.
10 kutu sorulmuş: bunuda tektek yazmaya gerek yok aradaki adımları kademeli olarak bulup. 10. adıma ulaşabiliriz.

paradoks12'den alıntı:

bir soruda benden:) bir önceki mesajıma bakarak '' balon'' kelimesini kaç farklı şekilde yazabileceğimi bulabilirmisiniz?
kusura bakmayın istemeden oldu

Yanlış anlama oldu herhalde. Sizin benden balon kelimesinin harfleriyle, sadece komşu harflerin yer değiştirmesi şartıyla kaç kelime yazılabileceğini bulmamı istediğinizi zannetmiştim. O zaman cevap 19 oluyor herhalde.

Yani demek istediğim şuydu. Bu tür soruların fibonacciyle çözülebildiğini sizde gördüm ama anlamadım. O yüzden, sizden kopya çektim dedim.

MatematikciFM'den alıntı:

Yani demek istediğim şuydu. Bu tür soruların fibonacciyle çözülebildiğini sizde gördüm ama anlamadım. O yüzden, sizden kopya çektim dedim.

hocam kusura bakmayın, yanlış anlamanıza sebep olmuşum, ben onu şaka olsun diye yazdım, o mesajdan önceki mesajımda 6 yerde balon kelimesi geçiyordu, ama bu 6 kelimeden 4 tanesinin yazımında yanlışlık yapmıştım mesela balon yerine balan, balen, baln... tarzında y*****ım niye böyle oldu bilmiyorum ama istemeyerek olmuştu, tekrar özür diliyorum kusura bakmayın:(

ayrıca üzülerek eklemek istiyorum, 19 cevabınız yanlış:) çünkü ''balon'' kelimesini yanlış yazabilme yeteneğim 19dan çok daha yüksek :)