1) 1²+2²+….+(n-1)²≡0 mod n
İçin hangi n pozitif tam say için dogrudur?
2) P asal sayı a ve b p ile bölünemeyen tam say olm üz
(a üzeri p)≡(b üzeri p) mod p ise (a üzeri p)≡(b üzeri p) mod p² oldugunu gösteriniz
http://i1105.hizliresim.com/2011/5/24/4532.jpg
İçin hangi n pozitif tam say için dogrudur?
2) P asal sayı a ve b p ile bölünemeyen tam say olm üz
(a üzeri p)≡(b üzeri p) mod p ise (a üzeri p)≡(b üzeri p) mod p² oldugunu gösteriniz
http://i1105.hizliresim.com/2011/5/24/4532.jpg
gereksizyorumcu 16:37 24 May 2011 #2
1.
1²+2²+...+(n-1)²=(n-1).(n).(2n-1)/6 olduğundan ve (n-1) , n , (2n-1) sayıları ikişerli olarak aralarında asal olduklarından n sayısı paydadaki 6 ile sadeşlememelidir ya da başka deyişle 2 veya 3 ile bölünmemelidir.
yani n=6k±1 şekilli sayılar için bu istenen sağlanır.
2.
Fermat Teoremine göre (a,p)=1 → ap-1≡1 (mod p)
yani ap=ap-1.a¹≡1.a=a (modp)
benzer şekilde bp≡b (modp) , bu iki sayının denk olduğu verilmiş
öyleyse a≡b (modp)
ap-bp=(a-b).(ap-1+ap-2.b+ap-3.b²+...+a.bp-2+bp-1)
(a-b) p ile bölünür sağ taraftaki parantezin içerisindeyse herbiri p modunda 1 e denk olan(Fermat Teoremi) p tane sayı vardır yani toplamları p ile bölünür
2 si de p ile bölünen iki sayı çarpıldığında sonuç p² ile bölünebileceğinden
ap-bp≡0 (modp²)
ya da
ap≡bp (modp²) bulmuş oluruz.
1²+2²+...+(n-1)²=(n-1).(n).(2n-1)/6 olduğundan ve (n-1) , n , (2n-1) sayıları ikişerli olarak aralarında asal olduklarından n sayısı paydadaki 6 ile sadeşlememelidir ya da başka deyişle 2 veya 3 ile bölünmemelidir.
yani n=6k±1 şekilli sayılar için bu istenen sağlanır.
2.
Fermat Teoremine göre (a,p)=1 → ap-1≡1 (mod p)
yani ap=ap-1.a¹≡1.a=a (modp)
benzer şekilde bp≡b (modp) , bu iki sayının denk olduğu verilmiş
öyleyse a≡b (modp)
ap-bp=(a-b).(ap-1+ap-2.b+ap-3.b²+...+a.bp-2+bp-1)
(a-b) p ile bölünür sağ taraftaki parantezin içerisindeyse herbiri p modunda 1 e denk olan(Fermat Teoremi) p tane sayı vardır yani toplamları p ile bölünür
2 si de p ile bölünen iki sayı çarpıldığında sonuç p² ile bölünebileceğinden
ap-bp≡0 (modp²)
ya da
ap≡bp (modp²) bulmuş oluruz.
1.
1²+2²+...+(n-1)²=(n-1).(n).(2n-1)/6 olduğundan ve (n-1) , n , (2n-1) sayıları ikişerli olarak aralarında asal olduklarından n sayısı paydadaki 6 ile sadeşlememelidir ya da başka deyişle 2 veya 3 ile bölünmemelidir.
yani n=6k±1 şekilli sayılar için bu istenen sağlanır.
cok tesekkürler hocam
2.
Fermat Teoremine göre (a,p)=1 → ap-1≡1 (mod p)
yani ap=ap-1.a¹≡1.a=a (modp)
benzer şekilde bp≡b (modp) , bu iki sayının denk olduğu verilmiş
öyleyse a≡b (modp)
ap-bp=(a-b).(ap-1+ap-2.b+ap-3.b²+...+a.bp-2+bp-1)
(a-b) p ile bölünür sağ taraftaki parantezin içerisindeyse herbiri p modunda 1 e denk olan(Fermat Teoremi) p tane sayı vardır yani toplamları p ile bölünür
2 si de p ile bölünen iki sayı çarpıldığında sonuç p² ile bölünebileceğinden
ap-bp≡0 (modp²)
ya da
ap≡bp (modp²) bulmuş oluruz.
1²+2²+...+(n-1)²=(n-1).(n).(2n-1)/6 olduğundan ve (n-1) , n , (2n-1) sayıları ikişerli olarak aralarında asal olduklarından n sayısı paydadaki 6 ile sadeşlememelidir ya da başka deyişle 2 veya 3 ile bölünmemelidir.
yani n=6k±1 şekilli sayılar için bu istenen sağlanır.
cok tesekkürler hocam
2.
Fermat Teoremine göre (a,p)=1 → ap-1≡1 (mod p)
yani ap=ap-1.a¹≡1.a=a (modp)
benzer şekilde bp≡b (modp) , bu iki sayının denk olduğu verilmiş
öyleyse a≡b (modp)
ap-bp=(a-b).(ap-1+ap-2.b+ap-3.b²+...+a.bp-2+bp-1)
(a-b) p ile bölünür sağ taraftaki parantezin içerisindeyse herbiri p modunda 1 e denk olan(Fermat Teoremi) p tane sayı vardır yani toplamları p ile bölünür
2 si de p ile bölünen iki sayı çarpıldığında sonuç p² ile bölünebileceğinden
ap-bp≡0 (modp²)
ya da
ap≡bp (modp²) bulmuş oluruz.
hocam öncelikle cok tsk ederim...
eger mümkünse 1. soru için kelimeler yerine daha matematiksel ispat gbi yazabilirmisniz yada bununla ilgili bi önerme teorem falan var mı?
eger mümkünse 1. soru için kelimeler yerine daha matematiksel ispat gbi yazabilirmisniz yada bununla ilgili bi önerme teorem falan var mı?
gereksizyorumcu 18:52 24 May 2011 #5
1.
A=1²+2²+...+(n-1)²=(n-1).n.(2n-1)/6 olduğunu biliyoruz
ebob(n,6)=d olsun
n=n'.d , 6=k.d olsun
A=(n-1).n'.d.(2n-1)/(k.d)=(n-1).n'.(2n-1)/k≡0 (modn)
ebob((n-1),n)=ebob(n,(2n-1))=1 dir , öyleyse
A=(n-1).n'.(2n-1)/k≡n'/k≡0 (modn) → n'≡0 (modn) → n|n' → d=1
yani ebob(n,6)=1 → n=6t-1 veya 6t+1 şekillidir. , (5,7,11,13,17,18,...)
A=1²+2²+...+(n-1)²=(n-1).n.(2n-1)/6 olduğunu biliyoruz
ebob(n,6)=d olsun
n=n'.d , 6=k.d olsun
A=(n-1).n'.d.(2n-1)/(k.d)=(n-1).n'.(2n-1)/k≡0 (modn)
ebob((n-1),n)=ebob(n,(2n-1))=1 dir , öyleyse
A=(n-1).n'.(2n-1)/k≡n'/k≡0 (modn) → n'≡0 (modn) → n|n' → d=1
yani ebob(n,6)=1 → n=6t-1 veya 6t+1 şekillidir. , (5,7,11,13,17,18,...)