[cheyluck]

1) 1²+2²+….+(n-1)²≡0 mod n
İçin hangi n pozitif tam say için dogrudur?

2) P asal sayı a ve b p ile bölünemeyen tam say olm üz
(a üzeri p)≡(b üzeri p) mod p ise (a üzeri p)≡(b üzeri p) mod p² oldugunu gösteriniz

http://i1105.hizliresim.com/2011/5/24/4532.jpg

[gereksizyorumcu]

1.
1²+2²+...+(n-1)²=(n-1).(n).(2n-1)/6 olduğundan ve (n-1) , n , (2n-1) sayıları ikişerli olarak aralarında asal olduklarından n sayısı paydadaki 6 ile sadeşlememelidir ya da başka deyişle 2 veya 3 ile bölünmemelidir.
yani n=6k±1 şekilli sayılar için bu istenen sağlanır.


2.
Fermat Teoremine göre (a,p)=1 → a^p-1≡1 (mod p)

yani a^p=a^p-1.a¹≡1.a=a (modp)
benzer şekilde b^p≡b (modp) , bu iki sayının denk olduğu verilmiş
öyleyse a≡b (modp)

a^p-b^p=(a-b).(a^p-1+a^p-2.b+a^p-3.b²+...+a.b^p-2+b^p-1)

(a-b) p ile bölünür sağ taraftaki parantezin içerisindeyse herbiri p modunda 1 e denk olan(Fermat Teoremi) p tane sayı vardır yani toplamları p ile bölünür
2 si de p ile bölünen iki sayı çarpıldığında sonuç p² ile bölünebileceğinden
a^p-b^p≡0 (modp²)
ya da
a^p≡b^p (modp²) bulmuş oluruz.

[cheyluck]

1.
1²+2²+...+(n-1)²=(n-1).(n).(2n-1)/6 olduğundan ve (n-1) , n , (2n-1) sayıları ikişerli olarak aralarında asal olduklarından n sayısı paydadaki 6 ile sadeşlememelidir ya da başka deyişle 2 veya 3 ile bölünmemelidir.
yani n=6k±1 şekilli sayılar için bu istenen sağlanır.
cok tesekkürler hocam

2.
Fermat Teoremine göre (a,p)=1 → a^p-1≡1 (mod p)

yani a^p=a^p-1.a¹≡1.a=a (modp)
benzer şekilde b^p≡b (modp) , bu iki sayının denk olduğu verilmiş
öyleyse a≡b (modp)

a^p-b^p=(a-b).(a^p-1+a^p-2.b+a^p-3.b²+...+a.b^p-2+b^p-1)

(a-b) p ile bölünür sağ taraftaki parantezin içerisindeyse herbiri p modunda 1 e denk olan(Fermat Teoremi) p tane sayı vardır yani toplamları p ile bölünür
2 si de p ile bölünen iki sayı çarpıldığında sonuç p² ile bölünebileceğinden
a^p-b^p≡0 (modp²)
ya da
a^p≡b^p (modp²) bulmuş oluruz.

[cheyluck]

hocam öncelikle cok tsk ederim...
eger mümkünse 1. soru için kelimeler yerine daha matematiksel ispat gbi yazabilirmisniz yada bununla ilgili bi önerme teorem falan var mı?

[gereksizyorumcu]

1.
A=1²+2²+...+(n-1)²=(n-1).n.(2n-1)/6 olduğunu biliyoruz

ebob(n,6)=d olsun
n=n'.d , 6=k.d olsun

A=(n-1).n'.d.(2n-1)/(k.d)=(n-1).n'.(2n-1)/k≡0 (modn)

ebob((n-1),n)=ebob(n,(2n-1))=1 dir , öyleyse

A=(n-1).n'.(2n-1)/k≡n'/k≡0 (modn) → n'≡0 (modn) → n|n' → d=1
yani ebob(n,6)=1 → n=6t-1 veya 6t+1 şekillidir. , (5,7,11,13,17,18,...)