duncanduncan 18:01 25 Ara 2010 #1
1den 48e kadar olan faktöriyellerin çarpımı en az kaç ile çarpılmalı ki bir doğal sayının karesi olsun?açıklayarak çözerseniz sevinirim
(cevap 24faktöriyel)
(cevap 24faktöriyel)
gereksizyorumcu 18:20 25 Ara 2010 #2
hmm yanlış anlamışım soruyu
MatematikciFM 18:38 25 Ara 2010 #3
47.43.41.37.31.29.13.2 çarpımı ile çarpılmalı.
Çünkü, bir sayının tam kare olması için o sayı asal çarpanlarına ayrıldığında , asal çarpanlarının herbirinin kuvvetlerinin çift sayıda olması gerekir. 48 i 48 den küçük olan asal sayılardan kaç tane olduğunu saydığımızda, yukardaki asal sayılardan tek sayıda olduğu görülür.
Çünkü, bir sayının tam kare olması için o sayı asal çarpanlarına ayrıldığında , asal çarpanlarının herbirinin kuvvetlerinin çift sayıda olması gerekir. 48 i 48 den küçük olan asal sayılardan kaç tane olduğunu saydığımızda, yukardaki asal sayılardan tek sayıda olduğu görülür.
MatematikciFM 18:38 25 Ara 2010 #4
Ben de yanlış anlamışım.
duncanduncan 18:47 25 Ara 2010 #5 47.43.41.37.31.29.13.2 çarpımı ile çarpılmalı.
Çünkü, bir sayının tam kare olması için o sayı asal çarpanlarına ayrıldığında , asal çarpanlarının herbirinin kuvvetlerinin çift sayıda olması gerekir. 48 i 48 den küçük olan asal sayılardan kaç tane olduğunu saydığımızda, yukardaki asal sayılardan tek sayıda olduğu görülür.
Çünkü, bir sayının tam kare olması için o sayı asal çarpanlarına ayrıldığında , asal çarpanlarının herbirinin kuvvetlerinin çift sayıda olması gerekir. 48 i 48 den küçük olan asal sayılardan kaç tane olduğunu saydığımızda, yukardaki asal sayılardan tek sayıda olduğu görülür.
gereksizyorumcu 18:51 25 Ara 2010 #6
48 e kadarki asalları yazarız
2-3-5-7-11-13-17-19-23-29-31-37-41-43-47
pek tabidir ki vrilen çarpımda sadece bu asalların kuvvetleri olacaktır. amacımız bu çarpımı yine bu asalların bazı kuvvetlerinin çarpımıyla çarpıp tüm kuvvetleri çift yapmak (kare sayıdaki tüm asal sayıların kuvvetleri çifttir)
tersten incelemeye başlarsak 47 asalı 48 ve 47 faktöriyellerden 1 er kez gelecek onun için sorun yok
43 asalı , 43-44-45-46-47-48 faktöriyelleden 1 er kez gelecek kuvveti 6 olacak sorun yok
41 için benzer şekilde kuvvet 8
37 için kuvvet 12
31 için kuvvet 18
29 için kuvvet 20 halen sorun yok
23 için 23-24-...-45 e kadarki faktoriyellerden 1 er kuvvet 46-47-48 den 2 kuvvet gelecek kuvvet 29 , kuvveti çift yapmak için 23 le çarpmalıyız
19 için benzer şekilde 19-37 faktöriyellerden 19 tan 1. kuvvet 38-39-...-48 den de çifter çifter gelecek sayıyı 19 ile de çarpmalıyız
17 için aynı şekilde 17-33 arası tek kuvvetler , geriye kalalar çift kuvvetler sayıyı 17 ile de çarpmalıyız.
13 için 13-25 arsı 13 tane 1. kuvvet , 26-38 arası çift kuvvetler sayısı mühim değil , 39-48 arası 10 tane 3. kuvvet buradan da 13 le çarpmamız gerekir
11 için 11-21 arsı 11 tane 1. , 22-32 arsı 11 tane 2. kuvvet , 33-43 arası 11 tane 3. kuvvet , 44-48 arası 5 tane 4. kuvvet , 11 için sorun yok kuvvetlerin toplamı çift sayı
7 için incelenirse bunun da çarpımda olması gerekir
5 için incelenince de kuvvetlri çift çıkıyor 5 e gerek yok
3 için de çift çıktı kuvvetlerin toplamı
2 için de zaten sayıları ardışık olarak eşleştirirsek sadece 48! açıkta kalır onun da içinde 48:2=24:2=12:2=6:2=3:2=1 , toplam 1+3+6+12+24=46 yani çift sayıda 2 var
sonuç olarak bu verilen sayı
7*13*17*19*23 ile çarpılırsa bir tamkare elde edilir
işlemi yaparken ufak hesap hataları yapmış olabilirim ama cevabın 24! olamayacağını kesinlikle söyleyebilirim. istersen de tam değer fonksiyonu içeren bir formülle daha matematiksel bir çözüm de yazabiliriz.
2-3-5-7-11-13-17-19-23-29-31-37-41-43-47
pek tabidir ki vrilen çarpımda sadece bu asalların kuvvetleri olacaktır. amacımız bu çarpımı yine bu asalların bazı kuvvetlerinin çarpımıyla çarpıp tüm kuvvetleri çift yapmak (kare sayıdaki tüm asal sayıların kuvvetleri çifttir)
tersten incelemeye başlarsak 47 asalı 48 ve 47 faktöriyellerden 1 er kez gelecek onun için sorun yok
43 asalı , 43-44-45-46-47-48 faktöriyelleden 1 er kez gelecek kuvveti 6 olacak sorun yok
41 için benzer şekilde kuvvet 8
37 için kuvvet 12
31 için kuvvet 18
29 için kuvvet 20 halen sorun yok
23 için 23-24-...-45 e kadarki faktoriyellerden 1 er kuvvet 46-47-48 den 2 kuvvet gelecek kuvvet 29 , kuvveti çift yapmak için 23 le çarpmalıyız
19 için benzer şekilde 19-37 faktöriyellerden 19 tan 1. kuvvet 38-39-...-48 den de çifter çifter gelecek sayıyı 19 ile de çarpmalıyız
17 için aynı şekilde 17-33 arası tek kuvvetler , geriye kalalar çift kuvvetler sayıyı 17 ile de çarpmalıyız.
13 için 13-25 arsı 13 tane 1. kuvvet , 26-38 arası çift kuvvetler sayısı mühim değil , 39-48 arası 10 tane 3. kuvvet buradan da 13 le çarpmamız gerekir
11 için 11-21 arsı 11 tane 1. , 22-32 arsı 11 tane 2. kuvvet , 33-43 arası 11 tane 3. kuvvet , 44-48 arası 5 tane 4. kuvvet , 11 için sorun yok kuvvetlerin toplamı çift sayı
7 için incelenirse bunun da çarpımda olması gerekir
5 için incelenince de kuvvetlri çift çıkıyor 5 e gerek yok
3 için de çift çıktı kuvvetlerin toplamı
2 için de zaten sayıları ardışık olarak eşleştirirsek sadece 48! açıkta kalır onun da içinde 48:2=24:2=12:2=6:2=3:2=1 , toplam 1+3+6+12+24=46 yani çift sayıda 2 var
sonuç olarak bu verilen sayı
7*13*17*19*23 ile çarpılırsa bir tamkare elde edilir
işlemi yaparken ufak hesap hataları yapmış olabilirim ama cevabın 24! olamayacağını kesinlikle söyleyebilirim. istersen de tam değer fonksiyonu içeren bir formülle daha matematiksel bir çözüm de yazabiliriz.
gereksizyorumcu 19:04 25 Ara 2010 #7
şimdi kontrol de ettim eğer soru:
1!.2!.3!....47!.48! sayısı en küçük hangi sayıyla çarpılırsa bir doğal sayının karesi olur? şeklindeyse benim verdiğim 7*13*17*19*23 doğru.
ben de wolframın yalancısıyım
1 den 48 e kadar i faktöriyellerin çarpımının kökü için wolframın cevabı
o en sonda yazan √676039 da zaten 7*13*17*19*23 sayısının köküne eşit.
1!.2!.3!....47!.48! sayısı en küçük hangi sayıyla çarpılırsa bir doğal sayının karesi olur? şeklindeyse benim verdiğim 7*13*17*19*23 doğru.
ben de wolframın yalancısıyım
1 den 48 e kadar i faktöriyellerin çarpımının kökü için wolframın cevabı
o en sonda yazan √676039 da zaten 7*13*17*19*23 sayısının köküne eşit.
duncanduncan 19:05 25 Ara 2010 #8
pardon soruyu yanlış y*****ım 2faktöriyel*4faktöriyel*6faktöriyel*8faktöriyel*..........44faktöriyel*46faktöriyel*48faktöriyel sayısı en az kaç ile çarpılmalı ki bir doğal sayının karesi olsun?
gereksizyorumcu 19:09 25 Ara 2010 #9
bu son sorunun cevabı da 24! çıkmaz
böyle hiçbir sorunun cevabı 24! çıkamaz
böyle hiçbir sorunun cevabı 24! çıkamaz
gereksizyorumcu 19:14 25 Ara 2010 #10
sorunun nasıl çözülebileceği yukarıda az çok anlaşıldığı ve benim tembel olmam gerekçesiyle diekt wolframa çözdürüyorum
√∏2n! (n=1 den 24 e)
bu da sonda kalan köklü ifadenin çarpanlara ayrılışı
sonuç
3*7*13*19*23*31*43*47 oluyor.
√∏2n! (n=1 den 24 e)
bu da sonda kalan köklü ifadenin çarpanlara ayrılışı
sonuç
3*7*13*19*23*31*43*47 oluyor.
Diğer çözümlü sorular alttadır.