1. #1

    Statü
    Grubu
    Üye
    İş
    9. sınıf

    Sponsorlu Bağlantılar

    Cool Haftanın Sorusu ...

    Kakuro bir bulmaca türüdür.
    a, 3 ile 45 arasında bir tamsayıdır. N ise a'nın bir fonksiyonudur ve a sayısının 1'den 9'a kadar doğal sayıların yinelemesiz (tekrarsız) toplamı olarak kaç değişik biçimde yazdığını vermektetir .
    N(10)=9
    Gerçekten de 10 sayısı 1 ile 9 arasındaki rakamların yinelemesiz toplamı olarak 9 değişik biçimde yazılmaktadır .
    10=1+9
    10=2+8
    10=3+7
    10=4+6
    10=1+2+7
    10=1+3+6
    10=1+4+5
    10=2+3+5
    10=1+2+3+4 (gördüğünüz gibi tekrarsız ve 1'den 9'a kadar olan tam sayılarla 9 sonucunu veriyor )
    Gelelim soruya :
    N(a) değerlerinin en büyüğü kaçtır ? N(a) değerlerini toplamı kaçtır?
    Şimdiden Teşekkürler...
    Matematikçi ikna etmez ; ispat eder . (RÖA)

  2. #2

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer

    Sponsorlu Bağlantılar

    hiç çözmeden en büyük değerin N(22)=N(23) te oluşacağını söyleyebilirim ama bu değer nedir çözmek lazım
    bir de 3 ile 45 arasına 1 ve 2 yi dahil edip ayrıca sayıların tek toplam halinde yazılabilmesinin önünü de açarsak yani
    mesela 8=1+7 olabildiği gibi 8=8 şeklinde de yazılabilirse N(a)=N(45-a) eşitliği de simetriden bulunabilir.

    kalan kısımlar için soruya uğraşmam gerek , inş. çözebiliriz.

  3. #3

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer

    Sponsorlu Bağlantılar

    F(n,k) diye bi fonksiyon tanımlayalım n'in k tane sayı toplamıyla yazılmalarının sayısı olsun

    mesela F(10,4)=1 (1+2+3+4)
    burada her n sayısı (k²+k)/2 den büyük eşit olmalıdır yani en son F(22,k) için inceleme yapacağımızdan (k²+k)/2≤22 → k 6 olabilir.

    şimdi bir tespit yapalım;
    F(n,k) oluşturulurken sayılar küçükten büyüğe sıralandığında her sayıdan 1 çıkartalım
    eğer sayılar 1 ile başlıyosa sonu 9 ile bitmeyen F(n-k,k-1) lere
    eğer sayılar 1 ile başlamıyosa da sonu 9 ile bitmeyen F(n-k,k) lara ulaşırız , peki sonu 9 ile bitmek ne demek?
    sonu 9 ile biten F(a,b) lerin sayısı sonu 9 ile bitmeyen F(a-9,b-1) ler olarak bulunabilir.

    yani sonuç olarak şu ilişkiyi kurabiliyoruz
    F(n,k)=F(n-k,k-1)-F(n-k-9,k-2)+F(n-k,k)-F(n-k-9,k-1)

    şimdi ilk bikaç değeri bulup kalanları bu ilişkinin yardımıyla dolduralım
    F(0,0)=1 (tanım olsun , zaten sıfırı 0 sayı kullanarak 1 şekilde yazabiliriz)
    F(1,1)=1 → N(1)=1
    F(2,1)=1 → N(2)=1
    F(3,1)=1 , F(3,2)=1 → N(3)=2
    F(4,1)=1 , F(4,2)=1 → N(4)=2
    F(5,1)=1 , F(5,2)=2 → N(5)=3
    F(6,1)=1 , F(6,2)=2 , F(6,3)=1 → N(6)=4
    F(7,1)=1 , F(7,2)=F(5,1)+F(5,2)=3 , F(7,3)=F(4,2)+F(4,3)=1+0=1 → N(7)=5
    F(8,1)=1 , F(8,2)=F(6,1)+F(6,2)=3 , F(8,3)=F(5,2)+F(5,3)=2+0=2 → N(8)=6
    F(9,1)=1 , F(9,2)=F(7,1)+F(7,2)=4 , F(9,3)=F(6,2)+F(6,3)=2+1=3 → N(9)=8
    F(10,1)=0 , F(10,2)=F(8,1)+F(8,2)=4 , F(10,3)=F(7,2)+F(7,3)=3+1=4 , F(10,4)=F(6,3)+F(6,4)=1+0=1 → N(10)=4+4+1=9
    burdan sonraki her F(n,1)=0 yazmaya gerek yok sanırım

    F(11,2)=F(9,1)-F(0,0)+F(9,2)=1+4-1=4 , F(11,3)=F(8,2)+F(8,3)=5 , F(11,4)=F(7,3)+F(7,4)=1 , N(11)=10

    F(12,2)=F(10,1)+F(10,2)-F(9,1)=3 , F(12,3)=F(9,2)+F(9,3)=7 , F(12,4)=F(8,3)+F(8,4)=2 → N(12)=12

    F(13,2)=3 , F(13,3)=7 , F(13,4)=F(9,3)+F(9,4)=3 → N(13)=13
    F(14,2)=2 , F(14,3)=8 , F(14,4)=5 → N(14)=15
    F(15,2)=2 , F(15,3)=8 , F(15,4)=6 , F(15,5)=F(10,4)+F(10,5)=1+0=1 → N(15)=17
    F(16,2)=1 , F(16,3)=8 , F(16,4)=8 , F(16,5)=1 → N(16)=18
    F(17,2)=1 , F(17,3)=7 , F(17,4)=9 , F(17,5)=2 → N(17)=19
    F(18,2)=F(16,1)+F(16,2)-F(7,1)=0 , F(18,3)=7 , F(18,4)=11 , F(18,5)=3 → N(18)=21
    buradan sonra k=2 leri yazmayız
    F(19,3)=5 , F(19,4)=F(15,3)-F(6,2)+F(15,4)-F(6,3)=8-2+6-1=11 , F(19,5)=5 → N(19)=21
    F(20,3)=4 , F(20,4)=12 , F(20,5)=6 → N(20)=22
    F(21,3)=3 , F(21,4)=11 , F(21,5)=8 , F(21,6)=1 → N(21)=23
    F(22,3)=2 , F(22,4)=11 , F(22,5)=9 , F(22,6)=1 → N(22)=23
    kalanları da başta simetrik olduğunu söylemiştik

    mesela N(34)=N(45-34)=N(11)=10


    yani bu incelemeden de en büyüğün başta söylediğimiz gibi N(22) ve N(23) olduğunu bulduk ama N(21) ve N(24) de onlara eşitmiş en fzla 23 değişik yazım ortaya çıkabiliyomuş

    tümünün toplamı
    2.(1+1+1+2+2+3+4+5+6+8+9+10+12+13+15+17+18+19+21+21+22+23+23)=512 oldu
    tabi 0-9 rasındakilerin tekli olarak yazılabildiğini kendimizce kabul etmiştik o 10 taneyi çıkartırız cevap 502 olur tabi işlem hatası yapmadıysak

    bu kadar uzatmadan her sayı için tek tek de yzılabilirdi ama ben sistemli bi çözüm olsun istedim tabi şu 512=29 sayısı da orada bi garip duruyo büyük ihtimalle çok kolay bir mantıkla çözümü de vardır bu sorunun.

  4. #4

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    şimdi düşünüyodum o 512 nin nedeni belli sonuçta toplamaya girebilecek sayılar 1,2,3,4,5,6,7,8,9 ve hangi altkümeyi seçersek seçelim farklı bir duum oluşacak ve tüm durumlar da bu rakamların bir altkümesi yani 29 gelmesi doğal sonuç.
    tek tek herbir toplam için kaç altküme bulunabilir bunun için kısa bir yol var mı bilmiyorum.

  5. #5

    Statü
    Grubu
    Üye
    İş
    9. sınıf
    hocam n sayısı (k²+k)/2 den büyük eşit olmalıdır kısmı nasıl oluyor
    Matematikçi ikna etmez ; ispat eder . (RÖA)

  6. #6

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Matematik Öğretmeni
    Bu soruyu ödev mi verdiler sana?
    3 tür beyin vardır.
    Küçük beyinler, insanları;
    Orta beyinler, olayları;
    Büyük beyinler, fikirleri;
    tartışır.

  7. #7

    Statü
    Grubu
    Üye
    İş
    9. sınıf
    yok ödev olarak değil haftalık olarak böyle ilginç sorular asılıyor bu soruyu hazırlayan hocamız okuldan ayrıldı çözümü öğrenemedim onun için
    Matematikçi ikna etmez ; ispat eder . (RÖA)

  8. #8

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    hocam n sayısı (k²+k)/2 den büyük eşit olmalıdır kısmı nasıl oluyor
    sayılar farklıysa k tane sayının toplamı en az (k²+k)/2 olur çünkü 1+2+3+...+k=(k²+k)/2

  9. #9

    Statü
    Grubu
    Site sahibi
    İş
    Matematik Öğretmeni
    F(n,k) diye bi fonksiyon tanımlayalım n'in k tane sayı toplamıyla yazılmalarının sayısı olsun

    mesela F(10,4)=1 (1+2+3+4)
    burada her n sayısı (k²+k)/2 den büyük eşit olmalıdır yani en son F(22,k) için inceleme yapacağımızdan (k²+k)/2≤22 → k 6 olabilir.

    şimdi bir tespit yapalım;
    F(n,k) oluşturulurken sayılar küçükten büyüğe sıralandığında her sayıdan 1 çıkartalım
    eğer sayılar 1 ile başlıyosa sonu 9 ile bitmeyen F(n-k,k-1) lere
    eğer sayılar 1 ile başlamıyosa da sonu 9 ile bitmeyen F(n-k,k) lara ulaşırız , peki sonu 9 ile bitmek ne demek?
    sonu 9 ile biten F(a,b) lerin sayısı sonu 9 ile bitmeyen F(a-9,b-1) ler olarak bulunabilir.

    yani sonuç olarak şu ilişkiyi kurabiliyoruz
    F(n,k)=F(n-k,k-1)-F(n-k-9,k-2)+F(n-k,k)-F(n-k-9,k-1)

    şimdi ilk bikaç değeri bulup kalanları bu ilişkinin yardımıyla dolduralım
    F(0,0)=1 (tanım olsun , zaten sıfırı 0 sayı kullanarak 1 şekilde yazabiliriz)
    F(1,1)=1 → N(1)=1
    F(2,1)=1 → N(2)=1
    F(3,1)=1 , F(3,2)=1 → N(3)=2
    F(4,1)=1 , F(4,2)=1 → N(4)=2
    F(5,1)=1 , F(5,2)=2 → N(5)=3
    F(6,1)=1 , F(6,2)=2 , F(6,3)=1 → N(6)=4
    F(7,1)=1 , F(7,2)=F(5,1)+F(5,2)=3 , F(7,3)=F(4,2)+F(4,3)=1+0=1 → N(7)=5
    F(8,1)=1 , F(8,2)=F(6,1)+F(6,2)=3 , F(8,3)=F(5,2)+F(5,3)=2+0=2 → N(8)=6
    F(9,1)=1 , F(9,2)=F(7,1)+F(7,2)=4 , F(9,3)=F(6,2)+F(6,3)=2+1=3 → N(9)=8
    F(10,1)=0 , F(10,2)=F(8,1)+F(8,2)=4 , F(10,3)=F(7,2)+F(7,3)=3+1=4 , F(10,4)=F(6,3)+F(6,4)=1+0=1 → N(10)=4+4+1=9
    burdan sonraki her F(n,1)=0 yazmaya gerek yok sanırım

    F(11,2)=F(9,1)-F(0,0)+F(9,2)=1+4-1=4 , F(11,3)=F(8,2)+F(8,3)=5 , F(11,4)=F(7,3)+F(7,4)=1 , N(11)=10

    F(12,2)=F(10,1)+F(10,2)-F(9,1)=3 , F(12,3)=F(9,2)+F(9,3)=7 , F(12,4)=F(8,3)+F(8,4)=2 → N(12)=12

    F(13,2)=3 , F(13,3)=7 , F(13,4)=F(9,3)+F(9,4)=3 → N(13)=13
    F(14,2)=2 , F(14,3)=8 , F(14,4)=5 → N(14)=15
    F(15,2)=2 , F(15,3)=8 , F(15,4)=6 , F(15,5)=F(10,4)+F(10,5)=1+0=1 → N(15)=17
    F(16,2)=1 , F(16,3)=8 , F(16,4)=8 , F(16,5)=1 → N(16)=18
    F(17,2)=1 , F(17,3)=7 , F(17,4)=9 , F(17,5)=2 → N(17)=19
    F(18,2)=F(16,1)+F(16,2)-F(7,1)=0 , F(18,3)=7 , F(18,4)=11 , F(18,5)=3 → N(18)=21
    buradan sonra k=2 leri yazmayız
    F(19,3)=5 , F(19,4)=F(15,3)-F(6,2)+F(15,4)-F(6,3)=8-2+6-1=11 , F(19,5)=5 → N(19)=21
    F(20,3)=4 , F(20,4)=12 , F(20,5)=6 → N(20)=22
    F(21,3)=3 , F(21,4)=11 , F(21,5)=8 , F(21,6)=1 → N(21)=23
    F(22,3)=2 , F(22,4)=11 , F(22,5)=9 , F(22,6)=1 → N(22)=23
    kalanları da başta simetrik olduğunu söylemiştik

    mesela N(34)=N(45-34)=N(11)=10


    yani bu incelemeden de en büyüğün başta söylediğimiz gibi N(22) ve N(23) olduğunu bulduk ama N(21) ve N(24) de onlara eşitmiş en fzla 23 değişik yazım ortaya çıkabiliyomuş

    tümünün toplamı
    2.(1+1+1+2+2+3+4+5+6+8+9+10+12+13+15+17+18+19+21+21+22+23+23)=512 oldu
    tabi 0-9 rasındakilerin tekli olarak yazılabildiğini kendimizce kabul etmiştik o 10 taneyi çıkartırız cevap 502 olur tabi işlem hatası yapmadıysak

    bu kadar uzatmadan her sayı için tek tek de yzılabilirdi ama ben sistemli bi çözüm olsun istedim tabi şu 512=29 sayısı da orada bi garip duruyo büyük ihtimalle çok kolay bir mantıkla çözümü de vardır bu sorunun.
    Bu sorunun yılın sorusu olması gerekir. Böyle bir çözümden dolayı.

  10. #10

    Statü
    Grubu
    Üye
    İş
    7. sınıf
    Bu sorunun yılın sorusu olması gerekir. Böyle bir çözümden dolayı.
    bence bu yılın cevabı olmalı


 

  • Bu yazıyı beğenerek
    destek
    verebilirsiniz

    Foruma üye olmana gerek yok! Facebook hesabınla yorumlarını bekliyoruz!
  • Benzer konular

    1. Bir tarihin haftanın hangi gününe rastladığını hesaplamak
      3.141592653589, bu konuyu "Eğlence" forumunda açtı.
      : 0
      : 16 Ara 2014, 20:01
    2. haftanın hangi günü?
      3.141592653589, bu konuyu "Özel matematik soruları" forumunda açtı.
      : 0
      : 02 Şub 2011, 20:36
    Forum Kullanım ve Gizlilik Kuralları