Öklid oyunu ve bu oyun ile ilgili güzel bir soru

20. yüzyıla kadar herhangi bir alternatifi olmadan kabul gören geometriyi beş temel aksiyom üzerine kuran Öklit, geometri alanında gelmiş geçmiş en büyük matematikçilerden biri olarak görülür. MÖ 330 yıllarında İskenderiye’de doğmasının dışında ona ilişkin çok az bilgi günümüze ulaşabilmiştir. Ancak Elementler adlı kitabıyla geometrinin temellerini oluşturarak bugün bile en tanınmış matematikçilerden biri olmayı başarabilmiştir. Öklit’in çalışmaları yalnızca geometriyle sınırlı değildi. Aritmetik, optik ve gökbilimle ilgili olarak da birçok çalışması vardır. Şimdi Öklit’in aritmetik alanındaki bölünebilme çalışmalarına atfen üretilen eğlenceli bir oyunu sizlere aktaracağız.

İki kişiyle oynanan bu oyunun kuralı gerçekten çok basit: Öncelikle bir kağıt üzerine birbirine eşit olmayan rasgele iki pozitif tam sayı yazıyoruz. Oyuna başlayan kişi, iki sayının pozitif farkını kağıda üçüncü sayı olarak yazıyor. Artık kağıdın üzerinde üç değişik sayı bulunuyor. Sıradaki oyuncunun amacı, kağıt üzerindeki üç sayıdan ikisini seçerek bu iki sayının pozitif farkını kağıttaki dördüncü ‘farklı’ sayı olarak yazmak. Eğer seçilen ikilinin farkı zaten kağıtta bulunuyorsa, bu iki sayı seçilemez. Oyun bu şekilde kağıt üzerindeki sayıların artmasıyla sürüyor, ta ki herhangi bir oyuncu kağıda yazabileceği (var olanların dışında bir sonuç veren) bir sayı ikilisi bulamayıncaya kadar. Örneğin, oyun 3 ve 5 sayılarıyla başlasın. 1. oyuncu mecbur olarak kağıda 2 yazacaktır (5-3=2). Ardından 2. oyuncu 2,3 ve 5 sayıları arasından 2 ve 3′ü seçip kağıda 1 yazar (3-2=1). Sıra yeniden 1. oyuncuya geldiğinde kağıtta 1,2,3 ve 5 sayıları vardır. O da 1 ile 5′i seçerek kağıda 4 yazar (5-1=4). Böylece kağıtta 1,2,3,4 ve 5 sayıları yer alır. 2. oyuncunun seçeceği herhangi iki sayının farkı mutlaka kağıt üzerinde yer aldığı için 2. oyuncu oyunu kaybetmiş olur.

Şimdi gelelim sorumuza: Böyle bir oyuna başlanan iki sayıya bağlı olarak kazanma stratejinizi nasıl belirlersiniz? Eğer oyuna kimin başlayacağına karar verme şansızın olursa,her seferinde kazanmayı garanti edebilir misiniz?

alıntıdır...

not: alıntı yaptığım yerde sorunun çözümü yoktu, çözümünü bilmiyorum, daha doğrusu kendimce bir çözümüm var ama doğru olup olmadını kesin olarak bilmiyorum, paylaşmak istedim

sanıyorum kabaca bir çözüm aklımda belirdi ama şimdi yazarsam uğraşmak isteyenlerin hevesi kaçabilir yani en azından bana öyle oluyor o yüzden sonra yazayım diyorum. tabi yazın beraberce bakalımderseniz toparlayıp bişeyler yazabilirim de.

mesela 258 ve 123 başlangıç sayıları olsa 2. oyuncu oyunu kesinlikle kazanıyor.

bencede biraz beklesek daha iyi olacak, bir kaç kişinin daha ilgisini çekmiş olabilir,bende bulduğum sonuçtan eminim ama matematik işte bazen doğruluğundan emin olduğun şeyler yanlış çıkabiliyor... aslında oyunda gayet eylenceli ben öğrencilere uygulamıştım çok hoşlarına gitmişti

evet aynı fikirdeyim, yani bu sayıları görünce centilmenlik edip sen başla demek lazım

benzeri (gerçi çok da benzer sayılmaz) birkaç soru için şu konuya (daima yenmek!) bakabilirsiniz.

bu güzel soru arada kaynayıp gitmiş. ben çözüm yazayım;

tahtaya yazılan ilk iki sayı a ve b olsun öyleyse yapılan işlemin doğal sonucu olarak tahtaya yazılan her yeni sayı ebob(a,b) ile tam bölünecektir ve tahtaya yazılacak en küçük sayı da ebob(a,b) olacaktır.
ebob(a,b) nin tahtaya yazılması ise a veya b den büyük olana kadar ki ebob(a,b) nin tüm katlarının da tahtaya yazılması demek olacaktır. bunlardan başkaysa hiçbir sayı tahtada bulunamaz (aksi ebob'un sayıları bölmesiyle çelişir)

bu noktada oyun bittiğinde tahtadaki toplam sayı sayısı = max(a,b)/ebob(a,b)
ve
tahtaya oyun oynanırken yazılan sayı sayısı = (max(a,b)/ebob(a,b))-2 olacaktır.
bu sayı
tekse birinci oyuncu ile işlem tamamlanacağından birinci oyuncu
çiftse ikinci oyuncuyla işlem tamamlanacağından ikinci oyuncu oyunu kazanır.


önceki yorumlarda verilen 258 ve 123 örneği için ebob(258,123)=3 ve 258/3=çift olduğundan oyunu herhangi ek bir strateji izlemesine gerek olmadan 2. oyuncu kazanır.

hocam soruyu aldığım yerde çözümü yoktu, ama bende sizinle aynı şekilde çözüm yapmıştım,

büyük sayı/ebob tekse ilk başlayan
büyük sayı/ebob çiftse ikinci başlayan her zaman kazanır

Jeton yeni düştü, Bu oyun, Öklit Algoritmasının bir uygulaması değil mi?

oyun teorisi
Tüm Etiketler