şimdi soru şu mu? Ali m , Veli de n ördeğe ateş edince Veli'nin Ali'den çok ördek vurması olasılığı nedir mi? yoksa sadece m=2 , n=3 için cevap mı aranıyor?
Ali'nin vurduğu ördek saısı üzerinden bir ihtimal toplamı alabiliriz;
Ali 0 ördek vurmuşsa , Veli 1,2,3,...,n ördek vurabilir. bu ihtimal = C(m,0).(1/2)m.(1/2)n.(C(n,1)+C(n,2)+C(n,3)+...+C(n,n))
Ali 1 ördek vurmuşsa , Veli 2,3,4,...,n ördek vurabilir. bu ihtimal = C(m,1).(1/2)m.(1/2)n.(C(n,2)+C(n,3)+C(n,4)+...+C(n,n))
..
Ali m ördek vurmuşsa , Veli m+1,m+2,...,n ördek vurabilir bu ihtimal = C(m,m).(1/2)m.(1/2)n.(C(n,m+1)+C(n,m+2)+C(n,m+3)+...+C(n,n))
sonuçta tüm bu ihtimallerin toplamı
=(1/2)m+n.
(
+C(m,0).C(n,1)+C(m,0).C(n,2)+...+C(m,0).C(n,n)
+C(m,1).C(n,2)+C(m,1).C(n,3)+...+C(m,1).C(n,n)
+...
+C(m,m).C(n,m+1)+C(m,m).C(n,m+2)+...+C(m,m).C(n,n)
)
burada C(n,x) leri C(n,n-x) diye yazalım bu durumda her satırda C(m,k).C(n,t) şklindeki sçarpımlar şu sorunun çözümü olacaktır
(m+n) elemanlı bir kümeden en fazla (n-1) elemanlı altkümeler kaç şekilde seçilir?
bunun cevabı da C(m+n,0)+C(m+n,1)+...+C(m+n,n-1) olacaktır ve n=m+1 oluğu durum için bu toplam tüm altkümelerin yani 2m+n sayısının yarısı olacaktır
ve son çarpım n=m+1 için
(1/2)m+n.(2m+n-1)=1/2 olur.
burada n=4, m=2 alınırsa (son sorduğun kısım oluyor)
cevabın (1/2)2+4.(C(6,0)+C(6,1)+C(6,2)+C(6,3))=(1+6+15+20)/64=42/64 olduğunu buluruz.